Страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.35 Дано выражение $f(x) = x(x - 2)^2(x + 1)^3(x + 5)$. Найдите значения переменной, при которых:

a) $f(x) > 0$;

б) $f(x) < 0$;

в) $f(x) \geq 0$;

г) $f(x) \leq 0$.

Для решения данных неравенств используем метод интервалов. Дано выражение $f(x) = x(x-2)^2(x+1)^3(x+5)$.

Сначала найдем нули функции, то есть значения $x$, при которых $f(x) = 0$.
$x(x-2)^2(x+1)^3(x+5) = 0$.
Корнями этого уравнения являются: $x = -5$, $x = -1$, $x = 0$ и $x = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак функции на каждом из них, проанализировав кратность каждого корня:
корень $x = -5$ (из множителя $(x+5)$) имеет кратность 1 (нечетная);
корень $x = -1$ (из множителя $(x+1)^3$) имеет кратность 3 (нечетная);
корень $x = 0$ (из множителя $x$) имеет кратность 1 (нечетная);
корень $x = 2$ (из множителя $(x-2)^2$) имеет кратность 2 (четная).
При переходе через корень нечетной кратности знак функции меняется, а при переходе через корень четной кратности — сохраняется.

Определим знак на крайнем правом интервале $(2; \infty)$. Возьмем пробную точку, например $x=3$:
$f(3) = 3(3-2)^2(3+1)^3(3+5) = 3 \cdot 1^2 \cdot 4^3 \cdot 8$. Все множители положительны, следовательно, $f(3) > 0$. Знак на интервале — «+».

Двигаясь справа налево по оси, определяем знаки на остальных интервалах:
Интервал $(2; \infty)$: знак «+».
Переходим через корень $x=2$ (четная кратность), знак не меняется. Интервал $(0; 2)$: знак «+».
Переходим через корень $x=0$ (нечетная кратность), знак меняется. Интервал $(-1; 0)$: знак «-».
Переходим через корень $x=-1$ (нечетная кратность), знак меняется. Интервал $(-5; -1)$: знак «+».
Переходим через корень $x=-5$ (нечетная кратность), знак меняется. Интервал $(-\infty; -5)$: знак «-».

Теперь решим каждое из заданных неравенств.

а) $f(x) > 0$

Неравенство является строгим, поэтому ищем интервалы, на которых функция строго положительна (знак «+»). Это интервалы $(-5; -1)$, $(0; 2)$ и $(2; \infty)$. Объединяя их, получаем решение.
Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (0; 2) \cup (2; \infty)$.

б) $f(x) < 0$

Неравенство строгое, поэтому ищем интервалы, на которых функция строго отрицательна (знак «-»). Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $(-1; 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0)$.

в) $f(x) \geq 0$

Неравенство нестрогое. Решение включает интервалы, где функция положительна, и точки, где она равна нулю. К интервалам со знаком «+» добавляем нули функции: -5, -1, 0, 2.Объединение интервалов $(-5; -1)$, $(0; 2)$, $(2; \infty)$ и точек -5, -1, 0, 2 дает множество $[-5; -1] \cup [0; \infty)$.
Ответ: $x \in [-5; -1] \cup [0; \infty)$.

г) $f(x) \leq 0$

Неравенство нестрогое. Решение включает интервалы, где функция отрицательна, и точки, где она равна нулю. К интервалам со знаком «-» добавляем нули функции: -5, -1, 0, 2.Объединение интервалов $(-\infty; -5)$, $(-1; 0)$ и точек -5, -1, 0 дает множество $(-\infty; -5] \cup [-1; 0]$. Также необходимо включить изолированную точку $x=2$, в которой $f(x)=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [-1; 0] \cup \{2\}$.

2.36 Дано выражение $f(x) = \frac{(x+2)^2(x-1)(2x+3)}{x(2x+1)}$. Найдите значения переменной, при которых:

а) $f(x) > 0$;

б) $f(x) < 0$;

в) $f(x) \geq 0$;

г) $f(x) \leq 0$.

Для решения всех неравенств используем метод интервалов. Данное выражение: $f(x) = \frac{(x+2)^2(x-1)(2x+3)}{x(2x+1)}$.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x(2x+1) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$ и $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1/2$. Точки $x=0$ и $x=-1/2$ являются точками разрыва и будут "выколоты" на числовой оси.

2. Найдём нули функции. Функция равна нулю, когда её числитель равен нулю: $(x+2)^2(x-1)(2x+3) = 0$. Отсюда получаем нули функции:

• $(x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Это корень кратности 2, поэтому при переходе через эту точку знак функции не меняется.
• $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Это корень кратности 1, знак функции меняется.
• $2x+3 = 0 \Rightarrow x = -3/2$. Это корень кратности 1, знак функции меняется.

3. Нанесём точки на числовую ось. Расположим нули функции и точки разрыва на числовой оси в порядке возрастания: $-2$, $-3/2$ (это -1.5), $-1/2$ (это -0.5), $0$, $1$.

4. Определим знаки функции на интервалах. Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(1, +\infty)$, например $x=10$.
$f(10) = \frac{(10+2)^2(10-1)(2 \cdot 10+3)}{10(2 \cdot 10+1)} = \frac{(+)(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
Двигаясь справа налево, расставим знаки, учитывая кратность корней:

• Интервал $(1, +\infty)$: +
• Переход через $x=1$ (кратность 1): знак меняется. Интервал $(0, 1)$: -
• Переход через $x=0$ (кратность 1): знак меняется. Интервал $(-1/2, 0)$: +
• Переход через $x=-1/2$ (кратность 1): знак меняется. Интервал $(-3/2, -1/2)$: -
• Переход через $x=-3/2$ (кратность 1): знак меняется. Интервал $(-2, -3/2)$: +
• Переход через $x=-2$ (кратность 2): знак не меняется. Интервал $(-\infty, -2)$: +

Схема знаков: $(-\infty, -2): +$; $(-2, -3/2): +$; $(-3/2, -1/2): -$; $(-1/2, 0): +$; $(0, 1): -$; $(1, +\infty): +$.

а) $f(x) > 0$

Нас интересуют интервалы, где функция строго положительна. Согласно схеме знаков, это интервалы $(-\infty, -2)$, $(-2, -3/2)$, $(-1/2, 0)$ и $(1, +\infty)$. Так как неравенство строгое, точки, где функция равна нулю ($x=-2, x=-3/2, x=1$) или не определена ($x=-1/2, x=0$), в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -3/2) \cup (-1/2, 0) \cup (1, +\infty)$.

б) $f(x) < 0$

Нас интересуют интервалы, где функция строго отрицательна. Согласно схеме знаков, это интервалы $(-3/2, -1/2)$ и $(0, 1)$. Так как неравенство строгое, концы интервалов в решение не входят.

Ответ: $x \in (-3/2, -1/2) \cup (0, 1)$.

в) $f(x) \geq 0$

Нас интересуют интервалы, где функция положительна, а также точки, где она равна нулю. Интервалы, где $f(x) > 0$: $(-\infty, -2) \cup (-2, -3/2) \cup (-1/2, 0) \cup (1, +\infty)$. Точки, где $f(x)=0$: $x=-2, x=-3/2, x=1$. Объединяем эти множества. Интервалы $(-\infty, -2)$ и $(-2, -3/2)$ вместе с точками $x=-2$ и $x=-3/2$ образуют промежуток $(-\infty, -3/2]$. Интервал $(1, +\infty)$ с точкой $x=1$ дает $[1, +\infty)$. Интервал $(-1/2, 0)$ остается без изменений, так как на его концах функция не определена.

Ответ: $x \in (-\infty, -3/2] \cup (-1/2, 0) \cup [1, +\infty)$.

г) $f(x) \leq 0$

Нас интересуют интервалы, где функция отрицательна, и точки, где она равна нулю. Интервалы, где $f(x) < 0$: $(-3/2, -1/2)$ и $(0, 1)$. Точки, где $f(x)=0$: $x=-2, x=-3/2, x=1$. Объединяем эти множества. Интервал $(-3/2, -1/2)$ вместе с точкой $x=-3/2$ образует $[-3/2, -1/2)$. Интервал $(0, 1)$ с точкой $x=1$ образует $(0, 1]$. Точка $x=-2$ также является решением, так как в ней $f(x)=0$. Она является изолированной точкой в решении, так как в ее окрестности функция положительна.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [-3/2, -1/2) \cup (0, 1]$.

2.37 Найдите такое целое значение параметра $p$, при котором множество решений неравенства $x^2(x + 2)(p - x) \ge 0$ содержит:

a) два целых числа;

б) четыре целых числа;

в) три целых числа;

г) пять целых чисел.

Рассмотрим неравенство $x^2(x+2)(p-x) \ge 0$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, знак левой части неравенства определяется знаком выражения $(x+2)(p-x)$. Важно отметить, что $x=0$ всегда является решением неравенства, так как при $x=0$ левая часть обращается в ноль.

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{l}(x+2)(p-x) \ge 0 \\ x=0 \end{array}\right.$

Решим неравенство $(x+2)(p-x) \ge 0$. Это квадратичное неравенство относительно $x$. Корни соответствующего уравнения $(x+2)(p-x)=0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = p$. Графиком функции $y=(x+2)(p-x)=-x^2+(p-2)x+2p$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, решение неравенства — это промежуток между корнями, включая сами корни.

Проанализируем множество решений в зависимости от целочисленного параметра $p$.

Случай 1: $p < -2$

В этом случае $p < -2$. Решением неравенства $(x+2)(p-x) \ge 0$ является отрезок $[p, -2]$. Полное множество решений исходного неравенства есть $[p, -2] \cup \{0\}$. Поскольку $p$ — целое число и $p < -2$, то $0$ не принадлежит отрезку $[p, -2]$. Целочисленными решениями являются все целые числа от $p$ до $-2$ включительно, а также число $0$. Количество целых чисел на отрезке $[p, -2]$ равно $(-2) - p + 1 = -p - 1$. Общее количество целочисленных решений равно $(-p - 1) + 1 = -p$.

Случай 2: $p = -2$

Неравенство принимает вид $x^2(x+2)(-2-x) \ge 0$, что эквивалентно $-x^2(x+2)^2 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ и $(x+2)^2 \ge 0$, то их произведение $x^2(x+2)^2$ всегда неотрицательно. Следовательно, $-x^2(x+2)^2 \le 0$ для всех $x$. Неравенство $-x^2(x+2)^2 \ge 0$ выполняется только тогда, когда левая часть равна нулю, то есть при $x=0$ или $x=-2$. Множество решений — $\{-2, 0\}$. Оно содержит 2 целых числа.

Случай 3: $p > -2$

В этом случае $-2 < p$. Решением неравенства $(x+2)(p-x) \ge 0$ является отрезок $[-2, p]$. Полное множество решений исходного неравенства есть $[-2, p] \cup \{0\}$.
Если $p=-1$ (единственное целое $p$ в интервале $(-2, 0)$), то множество решений — это $[-2, -1] \cup \{0\}$. Целочисленные решения: $\{-2, -1, 0\}$. Их количество равно 3.
Если $p \ge 0$, то $0 \in [-2, p]$, и множество решений — это просто отрезок $[-2, p]$. Количество целочисленных решений на этом отрезке равно $p - (-2) + 1 = p+3$. Отметим, что при $p=0$ эта формула дает $0+3=3$ решения (числа $-2, -1, 0$), что совпадает с прямым решением.

Теперь найдем значения $p$ для каждого пункта задачи.

а) два целых числа

Требуется найти такое целое $p$, при котором множество решений содержит ровно два целых числа. Из проведенного анализа следует, что это возможно только в Случае 2, то есть при $p=-2$.

Ответ: $p=-2$.

б) четыре целых числа

Ищем целое $p$, при котором количество целых решений равно 4. Рассмотрим возможные случаи:

• Случай 1 ($p < -2$): количество решений равно $-p$. Тогда $-p=4 \implies p=-4$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$.
• Случай 3 ($p \ge 1$): количество решений равно $p+3$. Тогда $p+3=4 \implies p=1$. Это значение удовлетворяет условию $p \ge 1$.

Таким образом, подходят значения $p=-4$ и $p=1$. Выберем одно из них, например $p=1$.

Ответ: $p=1$.

в) три целых числа

Ищем целое $p$, при котором количество целых решений равно 3. Рассмотрим возможные случаи:

• Случай 1 ($p < -2$): количество решений равно $-p$. Тогда $-p=3 \implies p=-3$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$.
• Случай 3 ($p > -2$): при $p=-1$ и $p=0$ количество решений равно 3. Если $p \ge 1$, то $p+3=3 \implies p=0$, что не удовлетворяет условию $p \ge 1$.

Таким образом, подходят значения $p=-3, p=-1, p=0$. Выберем одно из них, например $p=0$.

Ответ: $p=0$.

г) пять целых чисел

Ищем целое $p$, при котором количество целых решений равно 5. Рассмотрим возможные случаи:

• Случай 1 ($p < -2$): количество решений равно $-p$. Тогда $-p=5 \implies p=-5$. Это значение удовлетворяет условию $p < -2$.
• Случай 3 ($p \ge 1$): количество решений равно $p+3$. Тогда $p+3=5 \implies p=2$. Это значение удовлетворяет условию $p \ge 1$.

Таким образом, подходят значения $p=-5$ и $p=2$. Выберем одно из них, например $p=2$.

Ответ: $p=2$.

3.1 Множество задано словесным описанием. Задайте это множество, перечислив его элементы:

а) цифры, которые больше $5$;

б) целые отрицательные числа, которые больше $-7$;

в) четыре последние буквы русского алфавита;

г) различные цифры года рождения и года гибели М. Ю. Лермонтова.

а) Цифры — это символы, используемые для записи чисел. В десятичной системе счисления используются цифры от 0 до 9: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Нам нужно выбрать из них те, которые больше 5. Это будут цифры 6, 7, 8 и 9. Таким образом, искомое множество:
Ответ: $\{6, 7, 8, 9\}$

б) Целые отрицательные числа — это элементы множества $\mathbb{Z}^- = \{-1, -2, -3, \ldots\}$. Нам нужно найти такие числа $x$ из этого множества, для которых выполняется условие $x > -7$. На числовой прямой эти числа находятся между $-7$ и 0 (не включая концы). Перечислим их в порядке возрастания: $-6, -5, -4, -3, -2, -1$.
Ответ: $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1\}$

в) Русский алфавит заканчивается следующими буквами: ...Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ъ, Ы, Ь, Э, Ю, Я. Четырьмя последними буквами в этом списке являются Ь, Э, Ю, Я. Таким образом, искомое множество состоит из этих букв.
Ответ: $\{Ь, Э, Ю, Я\}$

г) Для решения этой задачи необходимо знать годы жизни поэта М. Ю. Лермонтова. Год рождения — 1814. Год гибели — 1841.
Цифры, составляющие год рождения (1814): 1, 8, 1, 4.
Цифры, составляющие год гибели (1841): 1, 8, 4, 1.
Нам нужно составить множество из всех *различных* (уникальных) цифр, встречающихся в этих двух годах. Объединим все цифры и уберем повторы: $\{1, 8, 4\}$. Расположим элементы множества в порядке возрастания для удобства.
Ответ: $\{1, 4, 8\}$

3.2 Множество задано перечислением своих элементов. Приведите какое-нибудь его словесное описание:

а) ${0, 2, 4, 6, 8}$

б) ${2, 3, 5, 7}$

в) ${3, 6, 9, \ldots, 27, 30}$

г) ${A, B, C, D, \ldots, X, Y, Z}$

а) {0, 2, 4, 6, 8}
Анализируя элементы данного множества, мы видим, что все они являются целыми неотрицательными числами. Каждое из этих чисел (0, 2, 4, 6, 8) делится на 2 без остатка, следовательно, они все четные. Кроме того, все они являются однозначными. Таким образом, это множество описывает все четные однозначные числа.
Ответ: Множество четных однозначных чисел.

б) {2, 3, 5, 7}
Элементы этого множества — натуральные числа. Проверим их на простоту. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Числа 2, 3, 5, 7 удовлетворяют этому определению. Следующее простое число — 11, которое уже является двузначным. Следовательно, данное множество содержит все простые однозначные числа.
Ответ: Множество простых однозначных чисел.

в) {3, 6, 9, ..., 27, 30}
Все элементы этого множества — натуральные числа. Легко заметить, что каждый элемент делится на 3: $3 = 3 \cdot 1$, $6 = 3 \cdot 2$, $9 = 3 \cdot 3$, и так далее до $27 = 3 \cdot 9$ и $30 = 3 \cdot 10$. Многоточие указывает на то, что в множество включены все натуральные числа, кратные 3, от 3 до 30 включительно.
Ответ: Множество натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 30.

г) {A, B, C, D, ..., X, Y, Z}
Элементами данного множества являются символы. По их виду можно заключить, что это заглавные буквы алфавита. Последовательность A, B, C, D в начале и X, Y, Z в конце eindeutig указывает на английский (латинский) алфавит. Многоточие означает, что все буквы между D и X также включены в множество.
Ответ: Множество заглавных букв английского (латинского) алфавита.

3.3 Запишите заданное множество в виде числового промежутка:

а) ${x | -13 - 3x \ge 0};$

б) ${x | \frac{5 - x}{1 + x} > 1};$

в) ${x | x^2 - 1 < 0};$

г) ${x | \frac{(x^2 - 6x + 10)(x + 2)}{(x^2 + 1)(4 - x)} \ge 0}.$

а) Для того чтобы записать множество $\{x | -13 - 3x \geq 0\}$ в виде числового промежутка, необходимо решить неравенство:
$-13 - 3x \geq 0$
Перенесем $-3x$ в правую часть неравенства, изменив знак:
$-13 \geq 3x$
Разделим обе части на 3:
$-\frac{13}{3} \geq x$
Это неравенство можно записать как $x \leq -\frac{13}{3}$. Множество всех $x$, удовлетворяющих этому условию, представляет собой числовой промежуток от минус бесконечности до $-\frac{13}{3}$, включая эту точку.
Ответ: $(-\infty; -\frac{13}{3}]$

б) Рассмотрим множество $\{x | |\frac{5 - x}{1 + x}| > 1\}$.
Неравенство с модулем вида $|A| > B$ (где $B > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.
Также учтем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, то есть $1 + x \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Решим совокупность:
1) $\frac{5 - x}{1 + x} > 1$
$\frac{5 - x}{1 + x} - 1 > 0$
$\frac{5 - x - (1 + x)}{1 + x} > 0$
$\frac{4 - 2x}{1 + x} > 0$
Методом интервалов находим нули числителя ($x=2$) и знаменателя ($x=-1$). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определяем знаки на каждом интервале. Решением является интервал $(-1; 2)$.
2) $\frac{5 - x}{1 + x} < -1$
$\frac{5 - x}{1 + x} + 1 < 0$
$\frac{5 - x + 1 + x}{1 + x} < 0$
$\frac{6}{1 + x} < 0$
Так как числитель $6$ всегда положителен, дробь будет отрицательной, если знаменатель отрицателен:
$1 + x < 0 \implies x < -1$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый числовой промежуток.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 2)$

в) Для множества $\{x | x^2 - 1 < 0\}$ решим квадратное неравенство:
$x^2 - 1 < 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) < 0$
Корнями уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x = 1$ и $x = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это интервал между $-1$ и $1$.
Ответ: $(-1; 1)$

г) Рассмотрим множество $\{x | \frac{(x^2 - 6x + 10)(x + 2)}{(x^2 + 1)(4 - x)} \geq 0 \}$.
Проанализируем каждый множитель в неравенстве:
1. Выражение $x^2 - 6x + 10$. Найдем его дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно при любом $x$.
2. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом $x$, так как $x^2 \geq 0$.
Поскольку множители $x^2 - 6x + 10$ и $x^2 + 1$ всегда положительны, мы можем разделить на них обе части неравенства, не меняя его знака. Исходное неравенство равносильно следующему:
$\frac{x + 2}{4 - x} \geq 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Нуль знаменателя: $4 - x = 0 \implies x = 4$. Точка $x=4$ не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Наносим точки $-2$ (включительно) и $4$ (исключительно) на числовую прямую и определяем знаки дроби на полученных интервалах.
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5+2}{4-5} < 0$.
- При $-2 \leq x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0+2}{4-0} > 0$.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+2}{4-(-3)} < 0$.
Нам нужен промежуток, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $[-2; 4)$