Номер 2.35, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.35 Дано выражение $f(x) = x(x - 2)^2(x + 1)^3(x + 5)$. Найдите значения переменной, при которых:

a) $f(x) > 0$;

б) $f(x) < 0$;

в) $f(x) \geq 0$;

г) $f(x) \leq 0$.

Для решения данных неравенств используем метод интервалов. Дано выражение $f(x) = x(x-2)^2(x+1)^3(x+5)$.

Сначала найдем нули функции, то есть значения $x$, при которых $f(x) = 0$.
$x(x-2)^2(x+1)^3(x+5) = 0$.
Корнями этого уравнения являются: $x = -5$, $x = -1$, $x = 0$ и $x = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак функции на каждом из них, проанализировав кратность каждого корня:
корень $x = -5$ (из множителя $(x+5)$) имеет кратность 1 (нечетная);
корень $x = -1$ (из множителя $(x+1)^3$) имеет кратность 3 (нечетная);
корень $x = 0$ (из множителя $x$) имеет кратность 1 (нечетная);
корень $x = 2$ (из множителя $(x-2)^2$) имеет кратность 2 (четная).
При переходе через корень нечетной кратности знак функции меняется, а при переходе через корень четной кратности — сохраняется.

Определим знак на крайнем правом интервале $(2; \infty)$. Возьмем пробную точку, например $x=3$:
$f(3) = 3(3-2)^2(3+1)^3(3+5) = 3 \cdot 1^2 \cdot 4^3 \cdot 8$. Все множители положительны, следовательно, $f(3) > 0$. Знак на интервале — «+».

Двигаясь справа налево по оси, определяем знаки на остальных интервалах:
Интервал $(2; \infty)$: знак «+».
Переходим через корень $x=2$ (четная кратность), знак не меняется. Интервал $(0; 2)$: знак «+».
Переходим через корень $x=0$ (нечетная кратность), знак меняется. Интервал $(-1; 0)$: знак «-».
Переходим через корень $x=-1$ (нечетная кратность), знак меняется. Интервал $(-5; -1)$: знак «+».
Переходим через корень $x=-5$ (нечетная кратность), знак меняется. Интервал $(-\infty; -5)$: знак «-».

Теперь решим каждое из заданных неравенств.

а) $f(x) > 0$

Неравенство является строгим, поэтому ищем интервалы, на которых функция строго положительна (знак «+»). Это интервалы $(-5; -1)$, $(0; 2)$ и $(2; \infty)$. Объединяя их, получаем решение.
Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (0; 2) \cup (2; \infty)$.

б) $f(x) < 0$

Неравенство строгое, поэтому ищем интервалы, на которых функция строго отрицательна (знак «-»). Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $(-1; 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0)$.

в) $f(x) \geq 0$

Неравенство нестрогое. Решение включает интервалы, где функция положительна, и точки, где она равна нулю. К интервалам со знаком «+» добавляем нули функции: -5, -1, 0, 2.Объединение интервалов $(-5; -1)$, $(0; 2)$, $(2; \infty)$ и точек -5, -1, 0, 2 дает множество $[-5; -1] \cup [0; \infty)$.
Ответ: $x \in [-5; -1] \cup [0; \infty)$.

г) $f(x) \leq 0$

Неравенство нестрогое. Решение включает интервалы, где функция отрицательна, и точки, где она равна нулю. К интервалам со знаком «-» добавляем нули функции: -5, -1, 0, 2.Объединение интервалов $(-\infty; -5)$, $(-1; 0)$ и точек -5, -1, 0 дает множество $(-\infty; -5] \cup [-1; 0]$. Также необходимо включить изолированную точку $x=2$, в которой $f(x)=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [-1; 0] \cup \{2\}$.