Номер 2.34, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.34 a) $(16 - x^2)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x^2 - x - 12) \le 0;$

б) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \le \frac{1-2x}{x^2-1};$

в) $(x^2 + 12x + 35)(2x + 10)(x^2 + 14x + 49) > 0;$

г) $4 - \frac{x}{5-x} + \frac{3x}{x^2 - 25} < 4.$

а) $(16 - x^2)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x^2 - x - 12) \le 0$

Разложим на множители каждый сомножитель в левой части неравенства.

1. $16 - x^2 = (4 - x)(4 + x) = -(x - 4)(x + 4)$.

2. $x^2 + 4 > 0$ для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$. Этот множитель не влияет на знак неравенства, и мы можем разделить обе части на него.

3. $x^2 + x + 1$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), этот трехчлен всегда принимает положительные значения. Он также не влияет на знак неравенства.

4. $x^2 - x - 12$. Найдем корни по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -12$, $x_1 + x_2 = 1$. Корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$.

Подставим разложенные множители в исходное неравенство:

$-(x - 4)(x + 4) \cdot (x - 4)(x + 3) \le 0$

$-(x - 4)^2(x + 4)(x + 3) \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x - 4)^2(x + 4)(x + 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x - 4)^2(x + 4)(x + 3)$: $x = 4$ (корень кратности 2), $x = -4$ и $x = -3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое, все точки будут закрашенными. При переходе через корень $x=4$ знак функции меняться не будет, так как его кратность четная (2).

- Интервал $(4, +\infty)$: возьмем $x=5$, $(5-4)^2(5+4)(5+3) > 0$. Знак "+".
- Точка $x=4$: выражение равно 0, что удовлетворяет условию $\ge 0$.
- Интервал $(-3, 4)$: возьмем $x=0$, $(0-4)^2(0+4)(0+3) > 0$. Знак "+".
- Точка $x=-3$: выражение равно 0, что удовлетворяет условию.
- Интервал $(-4, -3)$: возьмем $x=-3.5$, $(-3.5-4)^2(-3.5+4)(-3.5+3) < 0$. Знак "-".
- Точка $x=-4$: выражение равно 0, что удовлетворяет условию.
- Интервал $(-\infty, -4)$: возьмем $x=-5$, $(-5-4)^2(-5+4)(-5+3) > 0$. Знак "+".

Объединяя интервалы, где выражение неотрицательно, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-3, \infty)$.

б) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \le \frac{1-2x}{x^2-1}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2-1 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 1$.

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} - \frac{1-2x}{(x-1)(x+1)} \le 0$

$\frac{1 \cdot (x-1) + 2 \cdot (x+1) - (1-2x)}{(x-1)(x+1)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x-1 + 2x+2 - 1+2x}{x^2-1} \le 0$

$\frac{5x}{x^2-1} \le 0$

$\frac{5x}{(x-1)(x+1)} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=0$. Нули знаменателя (выколотые точки): $x=1$, $x=-1$.

Отметим точки на числовой оси: -1, 0, 1. Точка $x=0$ закрашенная, точки $x=\pm 1$ выколотые.

- Интервал $(1, +\infty)$: $x=2$, $\frac{5(2)}{(2-1)(2+1)} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(0, 1)$: $x=0.5$, $\frac{5(0.5)}{(0.5-1)(0.5+1)} < 0$. Знак "-".
- Интервал $(-1, 0)$: $x=-0.5$, $\frac{5(-0.5)}{(-0.5-1)(-0.5+1)} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-\infty, -1)$: $x=-2$, $\frac{5(-2)}{(-2-1)(-2+1)} < 0$. Знак "-".

Выбираем интервалы со знаком "-" и включаем закрашенную точку $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$.

в) $(x^2 + 12x + 35)(2x + 10)(x^2 + 14x + 49) > 0$

Разложим каждый множитель на множители.

1. $x^2 + 12x + 35$. По теореме Виета корни -5 и -7. $x^2 + 12x + 35 = (x+5)(x+7)$.

2. $2x + 10 = 2(x+5)$.

3. $x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

Подставим в неравенство:

$(x+5)(x+7) \cdot 2(x+5) \cdot (x+7)^2 > 0$

$2(x+5)^2(x+7)^3 > 0$

Разделим обе части на 2:

$(x+5)^2(x+7)^3 > 0$

Множитель $(x+5)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=-5$. Так как неравенство строгое, $x \ne -5$. Для всех остальных $x$, $(x+5)^2 > 0$, поэтому мы можем разделить на него неравенство, исключив точку $x=-5$.

Остается $(x+7)^3 > 0$, что равносильно $x+7 > 0$, то есть $x > -7$.

Объединяем условия $x > -7$ и $x \ne -5$.

Ответ: $x \in (-7, -5) \cup (-5, \infty)$.

г) $4 - \frac{x}{5-x} + \frac{3x}{x^2-25} < 4$

Вычтем 4 из обеих частей неравенства:

$-\frac{x}{5-x} + \frac{3x}{x^2-25} < 0$

Преобразуем знаменатели, чтобы привести к общему виду. Заметим, что $5-x = -(x-5)$ и $x^2-25 = (x-5)(x+5)$. ОДЗ: $x \ne \pm 5$.

$-\frac{x}{-(x-5)} + \frac{3x}{(x-5)(x+5)} < 0$

$\frac{x}{x-5} + \frac{3x}{(x-5)(x+5)} < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:

$\frac{x(x+5) + 3x}{(x-5)(x+5)} < 0$

$\frac{x^2+5x+3x}{(x-5)(x+5)} < 0$

$\frac{x^2+8x}{(x-5)(x+5)} < 0$

$\frac{x(x+8)}{(x-5)(x+5)} < 0$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-8$. Нули знаменателя: $x=5$, $x=-5$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

Отмечаем на числовой оси точки в порядке возрастания: -8, -5, 0, 5.

- Интервал $(5, +\infty)$: $x=6$, $\frac{6(14)}{1(11)} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(0, 5)$: $x=1$, $\frac{1(9)}{(-4)(6)} < 0$. Знак "-".
- Интервал $(-5, 0)$: $x=-1$, $\frac{-1(7)}{(-6)(4)} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-8, -5)$: $x=-6$, $\frac{-6(2)}{(-11)(-1)} < 0$. Знак "-".
- Интервал $(-\infty, -8)$: $x=-10$, $\frac{-10(-2)}{(-15)(-5)} > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-8, -5) \cup (0, 5)$.