Номер 2.27, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.27 a) $\frac{x^2 - 14x + 49}{5x^2 - 15x} \le 0;$

б) $\frac{16 - 9x^2}{4x^2 - 4x + 1} \ge 0;$

В) $\frac{3x^2 + 12x}{x^2 + 10x + 25} \ge 0;$

Г) $\frac{9x^2 + 6x + 1}{25 - x^2} \le 0.$

а)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 14x + 49}{5x^2 - 15x} \le 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель за скобки: $5x^2 - 15x = 5x(x - 3)$.

2. Перепишем неравенство в виде:
$\frac{(x - 7)^2}{5x(x - 3)} \le 0$.

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$5x(x - 3) \ne 0$, что означает $x \ne 0$ и $x \ne 3$.

4. Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может поменять знак.
Нуль числителя: $(x - 7)^2 = 0 \Rightarrow x = 7$.
Нули знаменателя: $5x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 3$.

5. Применим метод интервалов. Нанесем найденные точки на числовую прямую. Точки $x=0$ и $x=3$ выкалываем (так как они из знаменателя), а точку $x=7$ закрашиваем (так как неравенство нестрогое и эта точка обращает числитель в ноль).
Множитель $(x - 7)^2$ всегда неотрицателен, поэтому при переходе через точку $x=7$ знак выражения не меняется. Знак дроби определяется знаком выражения $5x(x-3)$.

Определим знаки выражения на интервалах:
- Интервал $(-\infty; 0)$: $x=-1$, $\frac{(-)^2}{(-)(-)_} = \frac{+}{+} > 0$.
- Интервал $(0; 3)$: $x=1$, $\frac{(-)^2}{(+)(-)_} = \frac{+}{-} < 0$.
- Интервал $(3; 7)$: $x=4$, $\frac{(-)^2}{(+)(+)_} = \frac{+}{+} > 0$.
- Интервал $(7; +\infty)$: $x=10$, $\frac{(+)^2}{(+)(+)_} = \frac{+}{+} > 0$.

6. Неравенство требует найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю.
Выражение меньше нуля на интервале $(0; 3)$.
Выражение равно нулю при $x = 7$.

Объединяем полученные результаты.

Ответ: $x \in (0; 3) \cup \{7\}$.

б)

Решим неравенство $\frac{16 - 9x^2}{4x^2 - 4x + 1} \ge 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель - разность квадратов: $16 - 9x^2 = (4 - 3x)(4 + 3x)$.
Знаменатель - полный квадрат разности: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$.

2. Перепишем неравенство:
$\frac{(4 - 3x)(4 + 3x)}{(2x - 1)^2} \ge 0$.

3. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $(2x - 1)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}$.

4. Нули числителя: $(4 - 3x)(4 + 3x) = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}, x = -\frac{4}{3}$.
Нуль знаменателя: $x = \frac{1}{2}$.

5. Используем метод интервалов. Наносим на ось точки $-\frac{4}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$. Точки $x = \pm\frac{4}{3}$ закрашенные, точка $x=\frac{1}{2}$ выколотая.
Знаменатель $(2x - 1)^2$ всегда положителен при $x \ne \frac{1}{2}$, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя $(4 - 3x)(4 + 3x) = 16 - 9x^2$.
График функции $y = 16 - 9x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Она принимает неотрицательные значения между своими корнями.

6. Таким образом, решение неравенства $(4 - 3x)(4 + 3x) \ge 0$ есть отрезок $[-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}]$.
Учитывая ОДЗ, мы должны исключить из этого отрезка точку $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{4}{3}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{4}{3}]$.

в)

Решим неравенство $\frac{3x^2 + 12x}{x^2 + 10x + 25} \ge 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $3x^2 + 12x = 3x(x + 4)$.
Знаменатель: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.

2. Перепишем неравенство:
$\frac{3x(x + 4)}{(x + 5)^2} \ge 0$.

3. ОДЗ: $(x + 5)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$.

4. Нули числителя: $3x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = -4$.
Нуль знаменателя: $x = -5$.

5. Наносим на числовую ось точки -5, -4, 0. Точка $x=-5$ выколотая, точки $x=-4$ и $x=0$ закрашенные.
Знаменатель $(x+5)^2$ всегда положителен при $x \ne -5$, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя $3x(x+4)$.
График $y = 3x(x+4)$ — парабола с ветвями вверх. Она неотрицательна при $x \le -4$ и при $x \ge 0$.

6. Решением будет объединение промежутков $(-\infty, -4]$ и $[0, +\infty)$.
Необходимо учесть ОДЗ и исключить точку $x=-5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -4] \cup [0; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{9x^2 + 6x + 1}{25 - x^2} \le 0$.

1. Разложим на множители.
Числитель: $9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2$.
Знаменатель: $25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$.

2. Перепишем неравенство:
$\frac{(3x + 1)^2}{(5 - x)(5 + x)} \le 0$.

3. ОДЗ: $(5 - x)(5 + x) \ne 0 \Rightarrow x \ne 5, x \ne -5$.

4. Нуль числителя: $(3x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
Нули знаменателя: $x=5, x=-5$.

5. Наносим на ось точки -5, $-\frac{1}{3}$, 5. Точки $x=\pm 5$ выколотые, точка $x=-\frac{1}{3}$ закрашенная.
Числитель $(3x + 1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -\frac{1}{3}$ (это решение) и положителен в остальных случаях.
Чтобы дробь была меньше нуля, знаменатель $(5 - x)(5 + x)$ должен быть отрицательным.
График $y = 25 - x^2$ — парабола с ветвями вниз. Она отрицательна вне интервала между корнями, то есть при $x < -5$ и $x > 5$.

6. Собираем решение:
- Дробь меньше нуля при $x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.
- Дробь равна нулю при $x = -\frac{1}{3}$.

Объединяем эти множества.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup \{-\frac{1}{3}\} \cup (5; +\infty)$.