Номер 2.22, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.22 a) $x^2(x-9) > 0$;

Б) $(x+2)^2(x+4) \leq 0$;

В) $x^2(x+3) > 0$;

Г) $(x-1)^2(x-5) \leq 0$.

а) $x^2(x - 9) > 0$

Для решения данного неравенства проанализируем множители. Левая часть неравенства представляет собой произведение двух множителей: $x^2$ и $(x - 9)$.
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Поскольку неравенство строгое ($> 0$), произведение не может быть равно нулю. Это означает, что каждый из множителей не должен быть равен нулю.
Следовательно, $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Также $x - 9 \neq 0$, что означает $x \neq 9$.
Так как при $x \neq 0$ множитель $x^2$ всегда положителен, знак всего выражения зависит только от знака множителя $(x - 9)$.
Чтобы произведение было положительным, множитель $(x - 9)$ также должен быть положительным:
$x - 9 > 0$
$x > 9$
Полученное решение $x > 9$ удовлетворяет ранее найденным условиям $x \neq 0$ и $x \neq 9$.
Таким образом, решением неравенства является интервал $(9; +\infty)$.

Ответ: $x \in (9; +\infty)$

б) $(x + 2)^2(x + 4) \le 0$

Рассмотрим множители в левой части неравенства: $(x + 2)^2$ и $(x + 4)$.
Множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x + 2)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому произведение может быть равно нулю или быть отрицательным.
1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$(x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$.
$x + 4 = 0 \implies x = -4$.
Значит, числа $-2$ и $-4$ являются решениями неравенства.
2. Произведение отрицательно ($< 0$), если множители имеют разные знаки.
Так как $(x + 2)^2$ может быть только положительным (случай равенства нулю мы уже рассмотрели), для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x + 4)$ был отрицательным.
$(x + 2)^2 > 0 \implies x \neq -2$.
$x + 4 < 0 \implies x < -4$.
Объединяя условия $x \neq -2$ и $x < -4$, получаем $x < -4$.
Теперь объединим все найденные решения:
- числа $-2$ и $-4$ (из пункта 1);
- интервал $(-\infty; -4)$ (из пункта 2).
Объединение интервала $(-\infty; -4)$ и точки $x = -4$ дает нам луч $(-\infty; -4]$. К этому множеству нужно добавить изолированную точку $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{-2\}$

в) $x^2(x + 3) > 0$

Данное неравенство решается аналогично пункту а).
Множитель $x^2$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Неравенство строгое, поэтому произведение не может быть равно нулю, значит $x^2 \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
При $x \neq 0$ множитель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, знак произведения совпадает со знаком второго множителя $(x + 3)$.
Для выполнения неравенства требуется, чтобы $x + 3 > 0$.
$x + 3 > 0 \implies x > -3$.
Мы получили два условия: $x > -3$ и $x \neq 0$.
Это означает, что из интервала $(-3; +\infty)$ нужно исключить точку $x=0$.
Решением является объединение двух интервалов: от $-3$ до $0$ и от $0$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (0; +\infty)$

г) $(x - 1)^2(x - 5) \le 0$

Данное неравенство решается аналогично пункту б).
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен, $(x - 1)^2 \ge 0$.
Неравенство нестрогое, поэтому рассмотрим два случая.
1. Произведение равно нулю:
$(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.
$x - 5 = 0 \implies x = 5$.
Точки $x=1$ и $x=5$ являются решениями.
2. Произведение отрицательно:
Для этого множитель $(x-1)^2$ должен быть строго положителен, а множитель $(x-5)$ - строго отрицателен.
$(x - 1)^2 > 0 \implies x \neq 1$.
$x - 5 < 0 \implies x < 5$.
Объединяя эти два условия, получаем $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 5)$.
Теперь объединим решения из обоих случаев:
- точки $1$ и $5$ (из пункта 1);
- интервалы $(-\infty; 1)$ и $(1; 5)$ (из пункта 2).
Объединение множеств $(-\infty; 1) \cup (1; 5) \cup \{1\} \cup \{5\}$ дает нам единый луч $(-\infty; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$