Номер 2.29, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.29 a) $ \frac{x^2 + x + 1}{x + 7} < 0 $

б) $ \frac{9 - 4x^2}{2x^2 + x + 1} \le 0 $

В) $ \frac{6 - x}{x^2 + 2x + 5} \ge 0 $

Г) $ \frac{3x^2 - 2x + 1}{5x^2 - x} \le 0 $

а)

Рассмотрим неравенство $ \frac{x^2+x+1}{x+7} < 0 $.

1. Найдем область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $ x+7 \neq 0 $, откуда $ x \neq -7 $.

2. Проанализируем знак числителя $ x^2+x+1 $. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 $.

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1 > 0 $, то выражение $ x^2+x+1 $ положительно при любых значениях $x$.

3. Так как числитель всегда положителен, то знак дроби зависит только от знака знаменателя. Чтобы дробь была меньше нуля, знаменатель должен быть отрицательным:

$ x+7 < 0 $

$ x < -7 $

Ответ: $ x \in (-\infty; -7) $

б)

Рассмотрим неравенство $ \frac{9-4x^2}{2x^2+x+1} \leq 0 $.

1. Проанализируем знак знаменателя $ 2x^2+x+1 $. Найдем его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 $.

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=2 > 0 $, то выражение $ 2x^2+x+1 $ положительно при любых значениях $x$. Знаменатель никогда не равен нулю.

2. Так как знаменатель всегда положителен, то знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:

$ 9-4x^2 \leq 0 $

$ 9 \leq 4x^2 $

$ x^2 \geq \frac{9}{4} $

Это неравенство выполняется, когда $ |x| \geq \frac{3}{2} $. То есть, $ x \geq \frac{3}{2} $ или $ x \leq -\frac{3}{2} $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -1.5] \cup [1.5; +\infty) $

в)

Рассмотрим неравенство $ \frac{6-x}{x^2+2x+5} \geq 0 $.

1. Проанализируем знак знаменателя $ x^2+2x+5 $. Найдем его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 $.

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1 > 0 $, то выражение $ x^2+2x+5 $ положительно при любых значениях $x$. Знаменатель никогда не равен нулю.

2. Так как знаменатель всегда положителен, то знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:

$ 6-x \geq 0 $

$ 6 \geq x $

$ x \leq 6 $

Ответ: $ x \in (-\infty; 6] $

г)

Рассмотрим неравенство $ \frac{3x^2-2x+1}{5x^2-x} \leq 0 $.

1. Проанализируем знак числителя $ 3x^2-2x+1 $. Найдем его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 $.

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=3 > 0 $, то выражение $ 3x^2-2x+1 $ положительно при любых значениях $x$.

2. Так как числитель всегда положителен, дробь не может быть равна нулю. Чтобы дробь была меньше нуля, знаменатель должен быть строго отрицательным:

$ 5x^2-x < 0 $

3. Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $ 5x^2-x = 0 $.

$ x(5x-1) = 0 $

Корни: $ x_1=0 $ и $ x_2=\frac{1}{5} $.

Парабола $ y=5x^2-x $ ветвями направлена вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, $ 0 < x < \frac{1}{5} $.

Ответ: $ x \in (0; \frac{1}{5}) $