Номер 2.30, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.30 a) $ \frac{x^3 + x^2 + x}{9x^2 - 25} \geq 0; $

б) $ \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x + 8} \leq 0; $

В) $ \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - 4x - 5} < 0; $

Г) $ \frac{x^4 - 2x^2 - 8}{x^2 + x + 1} < 0. $

а) Решим неравенство $\frac{x^3 + x^2 + x}{9x^2 - 25} \geq 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1)$.
Выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен.
Знаменатель: $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$.

2. Так как множитель $(x^2 + x + 1)$ всегда больше нуля, он не влияет на знак дроби. Исходное неравенство равносильно неравенству:
$\frac{x}{(3x - 5)(3x + 5)} \geq 0$.

3. Найдем нули числителя и знаменателя (критические точки):
$x=0$ (нуль числителя, точка будет включена в ответ).
$3x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5/3$ (нуль знаменателя, точка исключается).
$3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5/3$ (нуль знаменателя, точка исключается).

4. Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале:
При $x > 5/3$ (например, $x=2$): $\frac{+}{(+)(+)} = +$.
При $0 < x < 5/3$ (например, $x=1$): $\frac{+}{(-)(+)} = -$.
При $-5/3 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-}{(-)(+)} = +$.
При $x < -5/3$ (например, $x=-2$): $\frac{-}{(-)(-)} = -$.

5. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (знаки «+» и включенный нуль числителя).
Ответ: $x \in (-5/3, 0] \cup (5/3, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x + 8} \leq 0$.

1. Разложим числитель на множители методом группировки:
$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$.
Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любых значениях $x$.

2. Так как множитель $(x^2 + 1)$ всегда больше нуля, исходное неравенство равносильно неравенству:
$\frac{x - 1}{x + 8} \leq 0$.

3. Найдем критические точки:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (нуль числителя, точка включается).
$x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$ (нуль знаменателя, точка исключается).

4. Применим метод интервалов. На числовой прямой имеем точки -8 и 1.
При $x > 1$: $\frac{+}{+} = +$.
При $-8 < x < 1$: $\frac{-}{+} = -$.
При $x < -8$: $\frac{-}{-} = +$.

5. Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак «-» и включенный нуль числителя).
Ответ: $x \in (-8, 1]$.

в) Решим неравенство $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - 4x - 5} < 0$.

1. Проанализируем числитель $x^4 + x^2 + 1$. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \geq 0$. Получим $t^2 + t + 1$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен $t^2 + t + 1$ всегда положителен. Следовательно, и выражение $x^4 + x^2 + 1$ всегда больше нуля.

2. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство равносильно следующему:
$x^2 - 4x - 5 < 0$.

3. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$.

4. Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ ветвями направлена вверх, значит, она принимает отрицательные значения между своими корнями.
$-1 < x < 5$.

5. Так как исходное неравенство строгое, концы интервала не включаются.
Ответ: $x \in (-1, 5)$.

г) Решим неравенство $\frac{x^4 - 2x^2 - 8}{x^2 + x + 1} < 0$.

1. Проанализируем знаменатель $x^2 + x + 1$. Как мы уже видели в пункте а), дискриминант этого выражения $D = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен. Значит, знаменатель всегда больше нуля.

2. Так как знаменатель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:
$x^4 - 2x^2 - 8 < 0$.

3. Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \geq 0$.
$t^2 - 2t - 8 < 0$.

4. Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = -2$.

5. Парабола $y = t^2 - 2t - 8$ ветвями вверх, значит, она отрицательна между корнями: $-2 < t < 4$.

6. Вернемся к замене $t = x^2$ и учтем условие $t \geq 0$.
Получаем систему:
$\begin{cases} x^2 < 4 \\ x^2 > -2 \\ x^2 \geq 0 \end{cases}$
Неравенство $x^2 > -2$ выполняется для всех $x$.
Объединяя оставшиеся, получаем $0 \leq x^2 < 4$.

7. Решим неравенство $x^2 < 4$.
$x^2 - 4 < 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) < 0$.
Решением является интервал $-2 < x < 2$. Этот интервал удовлетворяет условию $x^2 \geq 0$.

Ответ: $x \in (-2, 2)$.