Страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.28 a) $(x^2 + x + 2)(x - 4) < 0;$

б) $(2x^2 - 5x + 2)(x^2 - x + 1) \ge 0;$

в) $(x + 8)(x^2 + 2x + 5) > 0;$

г) $(3x^2 + 10x + 3)(x^2 + 3x + 4) \le 0.$

а) $(x^2 + x + 2)(x - 4) < 0$

Для решения данного неравенства проанализируем каждый множитель.
Первый множитель — это квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$. Найдем его дискриминант, чтобы определить его знак:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1$ положителен ($a > 0$), то квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$ принимает только положительные значения при любом $x$.
Так как множитель $x^2 + x + 2$ всегда больше нуля, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно более простому:
$x - 4 < 0$
$x < 4$

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

б) $(2x^2 - 5x + 2)(x^2 - x + 1) \ge 0$

Рассмотрим множитель $x^2 - x + 1$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству:
$2x^2 - 5x + 2 \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Графиком функции $y=2x^2 - 5x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$.

в) $(x + 8)(x^2 + 2x + 5) > 0$

Рассмотрим множитель $x^2 + 2x + 5$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 5$ всегда положительно.
Поэтому исходное неравенство равносильно линейному неравенству:
$x + 8 > 0$
$x > -8$

Ответ: $x \in (-8; +\infty)$.

г) $(3x^2 + 10x + 3)(x^2 + 3x + 4) \le 0$

Рассмотрим множитель $x^2 + 3x + 4$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 3x + 4$ всегда положительно.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству:
$3x^2 + 10x + 3 \le 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$x_1 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Графиком функции $y=3x^2 + 10x + 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $3x^2 + 10x + 3 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-3; -\frac{1}{3}]$.

2.29 a) $ \frac{x^2 + x + 1}{x + 7} < 0 $

б) $ \frac{9 - 4x^2}{2x^2 + x + 1} \le 0 $

В) $ \frac{6 - x}{x^2 + 2x + 5} \ge 0 $

Г) $ \frac{3x^2 - 2x + 1}{5x^2 - x} \le 0 $

а)

Рассмотрим неравенство $ \frac{x^2+x+1}{x+7} < 0 $.

1. Найдем область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $ x+7 \neq 0 $, откуда $ x \neq -7 $.

2. Проанализируем знак числителя $ x^2+x+1 $. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 $.

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1 > 0 $, то выражение $ x^2+x+1 $ положительно при любых значениях $x$.

3. Так как числитель всегда положителен, то знак дроби зависит только от знака знаменателя. Чтобы дробь была меньше нуля, знаменатель должен быть отрицательным:

$ x+7 < 0 $

$ x < -7 $

Ответ: $ x \in (-\infty; -7) $

б)

Рассмотрим неравенство $ \frac{9-4x^2}{2x^2+x+1} \leq 0 $.

1. Проанализируем знак знаменателя $ 2x^2+x+1 $. Найдем его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 $.

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=2 > 0 $, то выражение $ 2x^2+x+1 $ положительно при любых значениях $x$. Знаменатель никогда не равен нулю.

2. Так как знаменатель всегда положителен, то знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:

$ 9-4x^2 \leq 0 $

$ 9 \leq 4x^2 $

$ x^2 \geq \frac{9}{4} $

Это неравенство выполняется, когда $ |x| \geq \frac{3}{2} $. То есть, $ x \geq \frac{3}{2} $ или $ x \leq -\frac{3}{2} $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -1.5] \cup [1.5; +\infty) $

в)

Рассмотрим неравенство $ \frac{6-x}{x^2+2x+5} \geq 0 $.

1. Проанализируем знак знаменателя $ x^2+2x+5 $. Найдем его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 $.

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1 > 0 $, то выражение $ x^2+2x+5 $ положительно при любых значениях $x$. Знаменатель никогда не равен нулю.

2. Так как знаменатель всегда положителен, то знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:

$ 6-x \geq 0 $

$ 6 \geq x $

$ x \leq 6 $

Ответ: $ x \in (-\infty; 6] $

г)

Рассмотрим неравенство $ \frac{3x^2-2x+1}{5x^2-x} \leq 0 $.

1. Проанализируем знак числителя $ 3x^2-2x+1 $. Найдем его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 $.

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=3 > 0 $, то выражение $ 3x^2-2x+1 $ положительно при любых значениях $x$.

2. Так как числитель всегда положителен, дробь не может быть равна нулю. Чтобы дробь была меньше нуля, знаменатель должен быть строго отрицательным:

$ 5x^2-x < 0 $

3. Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $ 5x^2-x = 0 $.

$ x(5x-1) = 0 $

Корни: $ x_1=0 $ и $ x_2=\frac{1}{5} $.

Парабола $ y=5x^2-x $ ветвями направлена вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, $ 0 < x < \frac{1}{5} $.

Ответ: $ x \in (0; \frac{1}{5}) $

2.30 a) $ \frac{x^3 + x^2 + x}{9x^2 - 25} \geq 0; $

б) $ \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x + 8} \leq 0; $

В) $ \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - 4x - 5} < 0; $

Г) $ \frac{x^4 - 2x^2 - 8}{x^2 + x + 1} < 0. $

а) Решим неравенство $\frac{x^3 + x^2 + x}{9x^2 - 25} \geq 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1)$.
Выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен.
Знаменатель: $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$.

2. Так как множитель $(x^2 + x + 1)$ всегда больше нуля, он не влияет на знак дроби. Исходное неравенство равносильно неравенству:
$\frac{x}{(3x - 5)(3x + 5)} \geq 0$.

3. Найдем нули числителя и знаменателя (критические точки):
$x=0$ (нуль числителя, точка будет включена в ответ).
$3x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5/3$ (нуль знаменателя, точка исключается).
$3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5/3$ (нуль знаменателя, точка исключается).

4. Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале:
При $x > 5/3$ (например, $x=2$): $\frac{+}{(+)(+)} = +$.
При $0 < x < 5/3$ (например, $x=1$): $\frac{+}{(-)(+)} = -$.
При $-5/3 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-}{(-)(+)} = +$.
При $x < -5/3$ (например, $x=-2$): $\frac{-}{(-)(-)} = -$.

5. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (знаки «+» и включенный нуль числителя).
Ответ: $x \in (-5/3, 0] \cup (5/3, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x + 8} \leq 0$.

1. Разложим числитель на множители методом группировки:
$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$.
Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любых значениях $x$.

2. Так как множитель $(x^2 + 1)$ всегда больше нуля, исходное неравенство равносильно неравенству:
$\frac{x - 1}{x + 8} \leq 0$.

3. Найдем критические точки:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (нуль числителя, точка включается).
$x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$ (нуль знаменателя, точка исключается).

4. Применим метод интервалов. На числовой прямой имеем точки -8 и 1.
При $x > 1$: $\frac{+}{+} = +$.
При $-8 < x < 1$: $\frac{-}{+} = -$.
При $x < -8$: $\frac{-}{-} = +$.

5. Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак «-» и включенный нуль числителя).
Ответ: $x \in (-8, 1]$.

в) Решим неравенство $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - 4x - 5} < 0$.

1. Проанализируем числитель $x^4 + x^2 + 1$. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \geq 0$. Получим $t^2 + t + 1$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен $t^2 + t + 1$ всегда положителен. Следовательно, и выражение $x^4 + x^2 + 1$ всегда больше нуля.

2. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство равносильно следующему:
$x^2 - 4x - 5 < 0$.

3. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$.

4. Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ ветвями направлена вверх, значит, она принимает отрицательные значения между своими корнями.
$-1 < x < 5$.

5. Так как исходное неравенство строгое, концы интервала не включаются.
Ответ: $x \in (-1, 5)$.

г) Решим неравенство $\frac{x^4 - 2x^2 - 8}{x^2 + x + 1} < 0$.

1. Проанализируем знаменатель $x^2 + x + 1$. Как мы уже видели в пункте а), дискриминант этого выражения $D = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен. Значит, знаменатель всегда больше нуля.

2. Так как знаменатель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:
$x^4 - 2x^2 - 8 < 0$.

3. Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \geq 0$.
$t^2 - 2t - 8 < 0$.

4. Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = -2$.

5. Парабола $y = t^2 - 2t - 8$ ветвями вверх, значит, она отрицательна между корнями: $-2 < t < 4$.

6. Вернемся к замене $t = x^2$ и учтем условие $t \geq 0$.
Получаем систему:
$\begin{cases} x^2 < 4 \\ x^2 > -2 \\ x^2 \geq 0 \end{cases}$
Неравенство $x^2 > -2$ выполняется для всех $x$.
Объединяя оставшиеся, получаем $0 \leq x^2 < 4$.

7. Решим неравенство $x^2 < 4$.
$x^2 - 4 < 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) < 0$.
Решением является интервал $-2 < x < 2$. Этот интервал удовлетворяет условию $x^2 \geq 0$.

Ответ: $x \in (-2, 2)$.

2.31 При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{\frac{2x+4}{x^2+8x-48}}$;

б) $\sqrt{\frac{14-x^2+5x}{x+2}}$;

В) $\sqrt{\frac{x^2+7x+10}{6-x}}$;

Г) $\sqrt{\frac{x-3}{x^2+5x-24}}$?

Для того чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для дроби это означает, что числитель и знаменатель должны удовлетворять условию $\frac{A}{B} \ge 0$, при этом знаменатель не может быть равен нулю ($B \neq 0$). Мы решим это неравенство для каждого случая методом интервалов.

а) Выражение $\sqrt{\frac{2x + 4}{x^2 + 8x - 48}}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно:

$\frac{2x + 4}{x^2 + 8x - 48} \ge 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

Корни знаменателя: $x^2 + 8x - 48 = 0$.

Дискриминант $D = 8^2 - 4(1)(-48) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

$x_1 = \frac{-8 - 16}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-8 + 16}{2} = 4$

Таким образом, знаменатель не равен нулю при $x \neq -12$ и $x \neq 4$.

Перепишем неравенство в виде:

$\frac{2(x + 2)}{(x + 12)(x - 4)} \ge 0$

Отметим на числовой оси точки $x = -12$, $x = -2$ и $x = 4$. Точки знаменателя ($ -12, 4$) будут выколотыми, а точка числителя ($-2$) — закрашенной.

Определим знаки выражения на интервалах:

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{2(5+2)}{(5+12)(5-4)} = \frac{+}{+\cdot+} > 0$.
• При $-2 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{2(0+2)}{(0+12)(0-4)} = \frac{+}{+\cdot-} < 0$.
• При $-12 < x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3+2)}{(-3+12)(-3-4)} = \frac{-}{+\cdot-} > 0$.
• При $x < -12$ (например, $x=-13$): $\frac{2(-13+2)}{(-13+12)(-13-4)} = \frac{-}{-\cdot-} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-12, -2]$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-12, -2] \cup (4, +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{\frac{14 - x^2 + 5x}{x + 2}}$ имеет смысл, если:

$\frac{14 - x^2 + 5x}{x + 2} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Сначала найдем его корни: $-x^2 + 5x + 14 = 0$.

Умножим на -1: $x^2 - 5x - 14 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

Тогда $-x^2 + 5x + 14 = -(x - 7)(x + 2)$.

Корень знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Знаменатель не может быть равен нулю, значит $x \neq -2$.

Подставим разложение в неравенство:

$\frac{-(x - 7)(x + 2)}{x + 2} \ge 0$

Поскольку $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$-(x - 7) \ge 0$

$x - 7 \le 0$

$x \le 7$

Совмещая с условием $x \neq -2$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 7]$.

в) Выражение $\sqrt{\frac{x^2 + 7x + 10}{6 - x}}$ имеет смысл, если:

$\frac{x^2 + 7x + 10}{6 - x} \ge 0$

Найдем корни числителя: $x^2 + 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.

Тогда $x^2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)$.

Корень знаменателя: $6 - x = 0 \implies x = 6$. Знаменатель не равен нулю, значит $x \neq 6$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x + 5)(x + 2)}{6 - x} \ge 0$

Отметим на числовой оси точки $-5, -2, 6$. Точки $-5$ и $-2$ — закрашенные, точка $6$ — выколотая.

Определим знаки выражения на интервалах:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(7+5)(7+2)}{6-7} = \frac{+\cdot+}{-} < 0$.
• При $-2 < x < 6$ (например, $x=0$): $\frac{(0+5)(0+2)}{6-0} = \frac{+\cdot+}{+} > 0$.
• При $-5 < x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-3+5)(-3+2)}{6-(-3)} = \frac{+\cdot-}{+} < 0$.
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-6+5)(-6+2)}{6-(-6)} = \frac{-\cdot-}{+} > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, -5]$ и $[-2, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-2, 6)$.

г) Выражение $\sqrt{\frac{x - 3}{x^2 + 5x - 24}}$ имеет смысл, если:

$\frac{x - 3}{x^2 + 5x - 24} \ge 0$

Корень числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Найдем корни знаменателя: $x^2 + 5x - 24 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 3$.

Знаменатель не равен нулю, значит $x \neq -8$ и $x \neq 3$.

Перепишем неравенство в виде:

$\frac{x - 3}{(x + 8)(x - 3)} \ge 0$

Поскольку $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$:

$\frac{1}{x + 8} \ge 0$

Так как числитель $1$ положителен, то и знаменатель должен быть строго положителен (не равен нулю):

$x + 8 > 0$

$x > -8$

Учитывая, что $x \neq 3$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-8, 3) \cup (3, +\infty)$.

2.32 Найдите область определения выражения:

а) $\sqrt{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}};$

б) $\sqrt{\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2}};$

в) $\sqrt{\frac{2 - x - x^2}{x^2 - 4}};$

г) $\sqrt{\frac{3x^2 + 10x + 3}{x^2 + 8x + 15}}.$

Область определения выражения, содержащего квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Найдем область определения выражения $ \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}} $.
Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} \ge 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $. Корни: $ x_1 = 3, x_2 = -3 $.
Знаменатель: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $. По теореме Виета находим корни: $ x_3 = 2, x_4 = 3 $. Значит, $ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x - 3)} \ge 0 $.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ x \neq 2 $ и $ x \neq 3 $. Так как $ x \neq 3 $, мы можем сократить дробь на $ (x - 3) $. Неравенство упрощается до: $ \frac{x + 3}{x - 2} \ge 0 $, при условии $ x \neq 3 $.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ x = -3 $. Нули знаменателя: $ x = 2 $. Нанесем точки $ -3, 2, 3 $ на числовую ось. Точка $ -3 $ — закрашенная (неравенство нестрогое), точки $ 2 $ и $ 3 $ — выколотые (нули знаменателя).

Определим знаки выражения на интервалах:
- При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{4+3}{4-2} > 0 $. Интервал подходит.
- При $ 2 < x < 3 $ (например, $ x=2.5 $): $ \frac{2.5+3}{2.5-2} > 0 $. Интервал подходит.
- При $ -3 < x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{0+3}{0-2} < 0 $. Интервал не подходит.
- При $ x < -3 $ (например, $ x=-4 $): $ \frac{-4+3}{-4-2} > 0 $. Интервал подходит.
- В точке $ x = -3 $ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \ge 0 $.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.

Ответ: $ x \in (-\infty, -3] \cup (2, 3) \cup (3, \infty) $.

Найдем область определения выражения $ \sqrt{\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2}} $.
Условие: $ \frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2} \ge 0 $.
Чтобы было удобнее, умножим знаменатель на -1 и изменим знак неравенства: $ \frac{2x^2 - 5x + 2}{-(x^2 - 5x + 6)} \ge 0 \implies \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 5x + 6} \le 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $. Дискриминант $ D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 $. Корни $ x = \frac{5 \pm 3}{4} $, то есть $ x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{2} $. Значит, $ 2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) $.
Знаменатель: $ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{2(x-2)(x-1/2)}{(x-2)(x-3)} \le 0 $.
Знаменатель не равен нулю, значит $ x \neq 2 $ и $ x \neq 3 $.
При $ x \neq 2 $, сокращаем дробь на $ (x - 2) $: $ \frac{2(x - 1/2)}{x - 3} \le 0 $.
Решаем методом интервалов. Корни: $ x = 1/2 $ (числитель), $ x = 3 $ (знаменатель). Наносим точки $ 1/2, 2, 3 $ на ось. $ 1/2 $ — закрашенная, $ 2 $ и $ 3 $ — выколотые.

Нам нужны интервалы, где выражение $ \frac{2(x-1/2)}{x-3} $ отрицательно или равно нулю (что соответствует исходному неравенству).
- При $ x > 3 $: $ \frac{(+)}{(+)} > 0 $. Не подходит.
- При $ 2 < x < 3 $: $ \frac{(+)}{(-)} < 0 $. Подходит.
- При $ 1/2 < x < 2 $: $ \frac{(+)}{(-)} < 0 $. Подходит.
- При $ x < 1/2 $: $ \frac{(-)}{(-)} > 0 $. Не подходит.
- В точке $ x = 1/2 $ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \le 0 $.
Объединяем интервалы $ [1/2, 2) $ и $ (2, 3) $.

Ответ: $ x \in [1/2, 2) \cup (2, 3) $.

Найдем область определения выражения $ \sqrt{\frac{2 - x - x^2}{x^2 - 4}} $.
Условие: $ \frac{2 - x - x^2}{x^2 - 4} \ge 0 $.
Разложим на множители.
Числитель: $ -x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 $. Корни: $ x_1 = 1, x_2 = -2 $. Значит, $ 2 - x - x^2 = -(x-1)(x+2) $.
Знаменатель: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $.
Неравенство: $ \frac{-(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} \ge 0 $.
Знаменатель не равен нулю, значит $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.
При $ x \neq -2 $, сокращаем дробь на $ (x+2) $: $ \frac{-(x-1)}{x-2} \ge 0 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{x-1}{x-2} \le 0 $.
Решаем методом интервалов. Корни: $ x = 1 $ (числитель), $ x = 2 $ (знаменатель). Точки на оси: $ -2 $ (выколотая), $ 1 $ (закрашенная), $ 2 $ (выколотая).

Нам нужны интервалы, где выражение $ \frac{x-1}{x-2} $ отрицательно или равно нулю.
- При $ x > 2 $: $ \frac{(+)}{(+)} > 0 $. Не подходит.
- При $ 1 < x < 2 $: $ \frac{(+)}{(-)} < 0 $. Подходит.
- При $ x < 1 $: $ \frac{(-)}{(-)} > 0 $. Не подходит.
- В точке $ x = 1 $ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \le 0 $.
Объединяем точку $ x=1 $ и интервал $ (1, 2) $.

Ответ: $ x \in [1, 2) $.

Найдем область определения выражения $ \sqrt{\frac{3x^2 + 10x + 3}{x^2 + 8x + 15}} $.
Условие: $ \frac{3x^2 + 10x + 3}{x^2 + 8x + 15} \ge 0 $.
Разложим на множители.
Числитель: $ 3x^2 + 10x + 3 = 0 $. Дискриминант $ D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 $. Корни $ x = \frac{-10 \pm 8}{6} $, то есть $ x_1 = -1/3, x_2 = -3 $. Значит, $ 3x^2 + 10x + 3 = 3(x + 1/3)(x + 3) $.
Знаменатель: $ x^2 + 8x + 15 = 0 $. По теореме Виета корни $ x_3 = -3, x_4 = -5 $. Значит, $ x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5) $.
Неравенство: $ \frac{3(x + 1/3)(x + 3)}{(x+3)(x+5)} \ge 0 $.
Знаменатель не равен нулю: $ x \neq -3 $ и $ x \neq -5 $.
При $ x \neq -3 $, сокращаем на $ (x+3) $: $ \frac{3(x + 1/3)}{x+5} \ge 0 $.
Решаем методом интервалов. Корни: $ x = -1/3 $ (числитель), $ x = -5 $ (знаменатель). Точки на оси: $ -5 $ (выколотая), $ -3 $ (выколотая), $ -1/3 $ (закрашенная).

Нам нужны интервалы, где выражение $ \frac{x + 1/3}{x+5} $ положительно или равно нулю.
- При $ x > -1/3 $: $ \frac{(+)}{(+)} > 0 $. Подходит.
- При $ -5 < x < -1/3 $: $ \frac{(-)}{(+)} < 0 $. Не подходит (включая точку $ x=-3 $).
- При $ x < -5 $: $ \frac{(-)}{(-)} > 0 $. Подходит.
- В точке $ x = -1/3 $ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \ge 0 $.
Объединяем подходящие множества.

Ответ: $ x \in (-\infty, -5) \cup [-1/3, \infty) $.

Решите неравенство:

2.33 a) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2};$

б) $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > -3;$

В) $\frac{x+1}{x-2} > \frac{-3}{x-2} - \frac{1}{2};$

Г) $\frac{x-4}{x-3} > \frac{x-3}{x-4}.$

а) $ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2} $

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+3)(x+2)$:

$ \frac{(x+3)(x+2) + 2(x+1)(x+2) - 3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(x^2+5x+6) + (2x^2+6x+4) - (3x^2+12x+9)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

$ \frac{x^2+5x+6 + 2x^2+6x+4 - 3x^2-12x-9}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

$ \frac{(x^2+2x^2-3x^2) + (5x+6x-12x) + (6+4-9)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

$ \frac{1-x}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $1-x=0 \implies x=1$.

Нули знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$; $x+3=0 \implies x=-3$; $x+2=0 \implies x=-2$.

Отметим точки $-3, -2, -1, 1$ на числовой прямой и определим знак выражения в каждом интервале. Так как неравенство строгое, все точки выколотые.

При $x > 1$: $ \frac{-}{(+)(+)(+)} < 0 $.
При $x \in (-1, 1)$: $ \frac{+}{(+)(+)(+)} > 0 $.
При $x \in (-2, -1)$: $ \frac{+}{(-)(+)(+)} < 0 $.
При $x \in (-3, -2)$: $ \frac{+}{(-)(+)(-)} > 0 $.
При $x < -3$: $ \frac{+}{(-)(-)(-)} < 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-1, 1)$.

б) $ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > -3 $

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 3 > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:

$ \frac{2(x+1) - 1(x-1) + 3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{2x+2-x+1+3(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

$ \frac{x+3+3x^2-3}{(x-1)(x+1)} > 0 $

$ \frac{3x^2+x}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Вынесем $x$ за скобки в числителе:

$ \frac{x(3x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-1/3$. Нули знаменателя: $x=1$, $x=-1$.

Отметим точки $-1, -1/3, 0, 1$ на числовой прямой и определим знаки:

При $x > 1$: $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $.
При $x \in (0, 1)$: $ \frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0 $.
При $x \in (-1/3, 0)$: $ \frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0 $.
При $x \in (-1, -1/3)$: $ \frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0 $.
При $x < -1$: $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{3}, 0) \cup (1, \infty)$.

в) $ \frac{x+1}{x-2} > \frac{-3}{x-2} - \frac{1}{2} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-2 \ne 0 \implies x \ne 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x+1}{x-2} + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

Сложим первые две дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{x+1+3}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

$ \frac{x+4}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

Приведем к общему знаменателю $2(x-2)$:

$ \frac{2(x+4) + 1(x-2)}{2(x-2)} > 0 $

$ \frac{2x+8+x-2}{2(x-2)} > 0 $

$ \frac{3x+6}{2(x-2)} > 0 $

$ \frac{3(x+2)}{2(x-2)} > 0 $

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $x+2=0 \implies x=-2$. Нуль знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$.

Отметим точки $-2, 2$ на числовой прямой и определим знаки:

При $x > 2$: $ \frac{+}{+} > 0 $.
При $x \in (-2, 2)$: $ \frac{+}{-} < 0 $.
При $x < -2$: $ \frac{-}{-} > 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

г) $ \frac{x-4}{x-3} > \frac{x-3}{x-4} $

ОДЗ: $x \ne 3, x \ne 4$.

Перенесем правую часть налево:

$ \frac{x-4}{x-3} - \frac{x-3}{x-4} > 0 $

Приведем к общему знаменателю $(x-3)(x-4)$:

$ \frac{(x-4)^2 - (x-3)^2}{(x-3)(x-4)} > 0 $

В числителе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$ \frac{((x-4)-(x-3))((x-4)+(x-3))}{(x-3)(x-4)} > 0 $

$ \frac{(x-4-x+3)(x-4+x-3)}{(x-3)(x-4)} > 0 $

$ \frac{(-1)(2x-7)}{(x-3)(x-4)} > 0 $

$ \frac{7-2x}{(x-3)(x-4)} > 0 $

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $7-2x=0 \implies x=3.5$. Нули знаменателя: $x=3, x=4$.

Отметим точки $3, 3.5, 4$ на числовой прямой и определим знаки:

При $x > 4$: $ \frac{-}{(+)(+)} < 0 $.
При $x \in (3.5, 4)$: $ \frac{-}{(+)(-)} > 0 $.
При $x \in (3, 3.5)$: $ \frac{+}{(+)(-)} < 0 $.
При $x < 3$: $ \frac{+}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3.5, 4)$.

2.34 a) $(16 - x^2)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x^2 - x - 12) \le 0;$

б) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \le \frac{1-2x}{x^2-1};$

в) $(x^2 + 12x + 35)(2x + 10)(x^2 + 14x + 49) > 0;$

г) $4 - \frac{x}{5-x} + \frac{3x}{x^2 - 25} < 4.$

а) $(16 - x^2)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x^2 - x - 12) \le 0$

Разложим на множители каждый сомножитель в левой части неравенства.

1. $16 - x^2 = (4 - x)(4 + x) = -(x - 4)(x + 4)$.

2. $x^2 + 4 > 0$ для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$. Этот множитель не влияет на знак неравенства, и мы можем разделить обе части на него.

3. $x^2 + x + 1$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), этот трехчлен всегда принимает положительные значения. Он также не влияет на знак неравенства.

4. $x^2 - x - 12$. Найдем корни по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -12$, $x_1 + x_2 = 1$. Корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$.

Подставим разложенные множители в исходное неравенство:

$-(x - 4)(x + 4) \cdot (x - 4)(x + 3) \le 0$

$-(x - 4)^2(x + 4)(x + 3) \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x - 4)^2(x + 4)(x + 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x - 4)^2(x + 4)(x + 3)$: $x = 4$ (корень кратности 2), $x = -4$ и $x = -3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое, все точки будут закрашенными. При переходе через корень $x=4$ знак функции меняться не будет, так как его кратность четная (2).

- Интервал $(4, +\infty)$: возьмем $x=5$, $(5-4)^2(5+4)(5+3) > 0$. Знак "+".
- Точка $x=4$: выражение равно 0, что удовлетворяет условию $\ge 0$.
- Интервал $(-3, 4)$: возьмем $x=0$, $(0-4)^2(0+4)(0+3) > 0$. Знак "+".
- Точка $x=-3$: выражение равно 0, что удовлетворяет условию.
- Интервал $(-4, -3)$: возьмем $x=-3.5$, $(-3.5-4)^2(-3.5+4)(-3.5+3) < 0$. Знак "-".
- Точка $x=-4$: выражение равно 0, что удовлетворяет условию.
- Интервал $(-\infty, -4)$: возьмем $x=-5$, $(-5-4)^2(-5+4)(-5+3) > 0$. Знак "+".

Объединяя интервалы, где выражение неотрицательно, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-3, \infty)$.

б) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \le \frac{1-2x}{x^2-1}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2-1 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 1$.

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} - \frac{1-2x}{(x-1)(x+1)} \le 0$

$\frac{1 \cdot (x-1) + 2 \cdot (x+1) - (1-2x)}{(x-1)(x+1)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x-1 + 2x+2 - 1+2x}{x^2-1} \le 0$

$\frac{5x}{x^2-1} \le 0$

$\frac{5x}{(x-1)(x+1)} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=0$. Нули знаменателя (выколотые точки): $x=1$, $x=-1$.

Отметим точки на числовой оси: -1, 0, 1. Точка $x=0$ закрашенная, точки $x=\pm 1$ выколотые.

- Интервал $(1, +\infty)$: $x=2$, $\frac{5(2)}{(2-1)(2+1)} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(0, 1)$: $x=0.5$, $\frac{5(0.5)}{(0.5-1)(0.5+1)} < 0$. Знак "-".
- Интервал $(-1, 0)$: $x=-0.5$, $\frac{5(-0.5)}{(-0.5-1)(-0.5+1)} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-\infty, -1)$: $x=-2$, $\frac{5(-2)}{(-2-1)(-2+1)} < 0$. Знак "-".

Выбираем интервалы со знаком "-" и включаем закрашенную точку $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$.

в) $(x^2 + 12x + 35)(2x + 10)(x^2 + 14x + 49) > 0$

Разложим каждый множитель на множители.

1. $x^2 + 12x + 35$. По теореме Виета корни -5 и -7. $x^2 + 12x + 35 = (x+5)(x+7)$.

2. $2x + 10 = 2(x+5)$.

3. $x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

Подставим в неравенство:

$(x+5)(x+7) \cdot 2(x+5) \cdot (x+7)^2 > 0$

$2(x+5)^2(x+7)^3 > 0$

Разделим обе части на 2:

$(x+5)^2(x+7)^3 > 0$

Множитель $(x+5)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=-5$. Так как неравенство строгое, $x \ne -5$. Для всех остальных $x$, $(x+5)^2 > 0$, поэтому мы можем разделить на него неравенство, исключив точку $x=-5$.

Остается $(x+7)^3 > 0$, что равносильно $x+7 > 0$, то есть $x > -7$.

Объединяем условия $x > -7$ и $x \ne -5$.

Ответ: $x \in (-7, -5) \cup (-5, \infty)$.

г) $4 - \frac{x}{5-x} + \frac{3x}{x^2-25} < 4$

Вычтем 4 из обеих частей неравенства:

$-\frac{x}{5-x} + \frac{3x}{x^2-25} < 0$

Преобразуем знаменатели, чтобы привести к общему виду. Заметим, что $5-x = -(x-5)$ и $x^2-25 = (x-5)(x+5)$. ОДЗ: $x \ne \pm 5$.

$-\frac{x}{-(x-5)} + \frac{3x}{(x-5)(x+5)} < 0$

$\frac{x}{x-5} + \frac{3x}{(x-5)(x+5)} < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:

$\frac{x(x+5) + 3x}{(x-5)(x+5)} < 0$

$\frac{x^2+5x+3x}{(x-5)(x+5)} < 0$

$\frac{x^2+8x}{(x-5)(x+5)} < 0$

$\frac{x(x+8)}{(x-5)(x+5)} < 0$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-8$. Нули знаменателя: $x=5$, $x=-5$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

Отмечаем на числовой оси точки в порядке возрастания: -8, -5, 0, 5.

- Интервал $(5, +\infty)$: $x=6$, $\frac{6(14)}{1(11)} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(0, 5)$: $x=1$, $\frac{1(9)}{(-4)(6)} < 0$. Знак "-".
- Интервал $(-5, 0)$: $x=-1$, $\frac{-1(7)}{(-6)(4)} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-8, -5)$: $x=-6$, $\frac{-6(2)}{(-11)(-1)} < 0$. Знак "-".
- Интервал $(-\infty, -8)$: $x=-10$, $\frac{-10(-2)}{(-15)(-5)} > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-8, -5) \cup (0, 5)$.