Страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.20 a) $x + \frac{8}{x} \le 6;$

б) $x + \frac{2}{x} \ge 3;$

В) $x + \frac{3}{x} \le -4;$

Г) $x - \frac{8}{x} > 2.$

а) $x + \frac{8}{x} \le 6$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в знаменателе стоит $x$, то $x \ne 0$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем их к общему знаменателю:

$x + \frac{8}{x} - 6 \le 0$

$\frac{x^2}{x} + \frac{8}{x} - \frac{6x}{x} \le 0$

$\frac{x^2 - 6x + 8}{x} \le 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя находятся из уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Корень знаменателя: $x=0$.

Нанесем точки $0, 2, 4$ на числовую ось. Точки $2$ и $4$ будут закрашенными (включены в решение), так как неравенство нестрогое, а точка $0$ — выколотой, так как она из ОДЗ. Эти точки разбивают ось на четыре интервала. Определим знак дроби $\frac{(x-2)(x-4)}{x}$ на каждом из них:

- при $x \in (4, +\infty)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (2, 4)$, выражение отрицательно (−).
- при $x \in (0, 2)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-\infty, 0)$, выражение отрицательно (−).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, 0)$ и $[2, 4]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

б) $x + \frac{2}{x} \ge 3$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$x + \frac{2}{x} - 3 \ge 0$

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Корень знаменателя: $x=0$.

Отмечаем на числовой оси точки $0, 1, 2$. Точки $1$ и $2$ закрашенные (неравенство нестрогое), $0$ — выколотая. Определяем знаки выражения $\frac{(x-1)(x-2)}{x}$ на интервалах:

- при $x \in (2, +\infty)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (1, 2)$, выражение отрицательно (−).
- при $x \in (0, 1)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-\infty, 0)$, выражение отрицательно (−).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(0, 1]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [2, \infty)$.

в) $x + \frac{3}{x} \le -4$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$x + \frac{3}{x} + 4 \le 0$

$\frac{x^2 + 4x + 3}{x} \le 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Корень знаменателя: $x=0$.

Отмечаем на числовой оси точки $-3, -1, 0$. Точки $-3$ и $-1$ закрашенные, $0$ — выколотая. Определяем знаки выражения $\frac{(x+1)(x+3)}{x}$ на интервалах:

- при $x \in (0, +\infty)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-1, 0)$, выражение отрицательно (−).
- при $x \in (-3, -1)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-\infty, -3)$, выражение отрицательно (−).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -3]$ и $[-1, 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0)$.

г) $x - \frac{8}{x} > 2$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$x - \frac{8}{x} - 2 > 0$

$\frac{x^2 - 2x - 8}{x} > 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Корень знаменателя: $x=0$.

Отмечаем на числовой оси точки $-2, 0, 4$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое, а $x=0$ не входит в ОДЗ. Определяем знаки выражения $\frac{(x-4)(x+2)}{x}$ на интервалах:

- при $x \in (4, +\infty)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (0, 4)$, выражение отрицательно (−).
- при $x \in (-2, 0)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-\infty, -2)$, выражение отрицательно (−).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это интервалы $(-2, 0)$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (4, \infty)$.

2.21 a) $(x - 1)(x^2 - 3x + 8) < 0;$

б) $(x + 5)(x^2 + x + 6) \ge 0;$

в) $(x - 7)(-x^2 - 3x - 18) > 0;$

г) $(x + 1,2)(x^2 + 5x + 14) \le 0.$

a)

Для решения неравенства $(x - 1)(x^2 - 3x + 8) < 0$ рассмотрим второй множитель — квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 8$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант этого трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a > 0$, выражение $x^2 - 3x + 8$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Так как множитель $x^2 - 3x + 8$ всегда положителен, знак всего произведения определяется знаком множителя $(x - 1)$. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$x - 1 < 0$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б)

В неравенстве $(x + 5)(x^2 + x + 6) \geq 0$ рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + x + 6$. Ветви соответствующей параболы направлены вверх ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Поскольку $D < 0$ и $a > 0$, выражение $x^2 + x + 6$ всегда положительно.

Разделим обе части неравенства на положительное выражение $x^2 + x + 6$, при этом знак неравенства не изменится:

$x + 5 \geq 0$

$x \geq -5$

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

в)

Преобразуем неравенство $(x - 7)(-x^2 - 3x - 18) > 0$. Для этого вынесем $-1$ за скобку во втором множителе:

$(x - 7) \cdot (-(x^2 + 3x + 18)) > 0$

$-(x - 7)(x^2 + 3x + 18) > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x - 7)(x^2 + 3x + 18) < 0$

Теперь рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 18$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 9 - 72 = -63$.

Поскольку $D < 0$ и $a > 0$, выражение $x^2 + 3x + 18$ всегда положительно. Следовательно, исходное неравенство равносильно следующему:

$x - 7 < 0$

$x < 7$

Ответ: $x \in (-\infty; 7)$.

г)

Для решения неравенства $(x + 1,2)(x^2 + 5x + 14) \leq 0$ рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 14$. Ветви соответствующей параболы направлены вверх ($a=1>0$). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 - 56 = -31$.

Поскольку $D < 0$ и $a > 0$, выражение $x^2 + 5x + 14$ всегда положительно. Разделив обе части неравенства на это положительное выражение, получим равносильное неравенство, сохранив знак:

$x + 1,2 \leq 0$

$x \leq -1,2$

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2]$.

2.22 a) $x^2(x-9) > 0$;

Б) $(x+2)^2(x+4) \leq 0$;

В) $x^2(x+3) > 0$;

Г) $(x-1)^2(x-5) \leq 0$.

а) $x^2(x - 9) > 0$

Для решения данного неравенства проанализируем множители. Левая часть неравенства представляет собой произведение двух множителей: $x^2$ и $(x - 9)$.
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Поскольку неравенство строгое ($> 0$), произведение не может быть равно нулю. Это означает, что каждый из множителей не должен быть равен нулю.
Следовательно, $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Также $x - 9 \neq 0$, что означает $x \neq 9$.
Так как при $x \neq 0$ множитель $x^2$ всегда положителен, знак всего выражения зависит только от знака множителя $(x - 9)$.
Чтобы произведение было положительным, множитель $(x - 9)$ также должен быть положительным:
$x - 9 > 0$
$x > 9$
Полученное решение $x > 9$ удовлетворяет ранее найденным условиям $x \neq 0$ и $x \neq 9$.
Таким образом, решением неравенства является интервал $(9; +\infty)$.

Ответ: $x \in (9; +\infty)$

б) $(x + 2)^2(x + 4) \le 0$

Рассмотрим множители в левой части неравенства: $(x + 2)^2$ и $(x + 4)$.
Множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x + 2)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому произведение может быть равно нулю или быть отрицательным.
1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$(x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$.
$x + 4 = 0 \implies x = -4$.
Значит, числа $-2$ и $-4$ являются решениями неравенства.
2. Произведение отрицательно ($< 0$), если множители имеют разные знаки.
Так как $(x + 2)^2$ может быть только положительным (случай равенства нулю мы уже рассмотрели), для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x + 4)$ был отрицательным.
$(x + 2)^2 > 0 \implies x \neq -2$.
$x + 4 < 0 \implies x < -4$.
Объединяя условия $x \neq -2$ и $x < -4$, получаем $x < -4$.
Теперь объединим все найденные решения:
- числа $-2$ и $-4$ (из пункта 1);
- интервал $(-\infty; -4)$ (из пункта 2).
Объединение интервала $(-\infty; -4)$ и точки $x = -4$ дает нам луч $(-\infty; -4]$. К этому множеству нужно добавить изолированную точку $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{-2\}$

в) $x^2(x + 3) > 0$

Данное неравенство решается аналогично пункту а).
Множитель $x^2$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Неравенство строгое, поэтому произведение не может быть равно нулю, значит $x^2 \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
При $x \neq 0$ множитель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, знак произведения совпадает со знаком второго множителя $(x + 3)$.
Для выполнения неравенства требуется, чтобы $x + 3 > 0$.
$x + 3 > 0 \implies x > -3$.
Мы получили два условия: $x > -3$ и $x \neq 0$.
Это означает, что из интервала $(-3; +\infty)$ нужно исключить точку $x=0$.
Решением является объединение двух интервалов: от $-3$ до $0$ и от $0$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (0; +\infty)$

г) $(x - 1)^2(x - 5) \le 0$

Данное неравенство решается аналогично пункту б).
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен, $(x - 1)^2 \ge 0$.
Неравенство нестрогое, поэтому рассмотрим два случая.
1. Произведение равно нулю:
$(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.
$x - 5 = 0 \implies x = 5$.
Точки $x=1$ и $x=5$ являются решениями.
2. Произведение отрицательно:
Для этого множитель $(x-1)^2$ должен быть строго положителен, а множитель $(x-5)$ - строго отрицателен.
$(x - 1)^2 > 0 \implies x \neq 1$.
$x - 5 < 0 \implies x < 5$.
Объединяя эти два условия, получаем $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 5)$.
Теперь объединим решения из обоих случаев:
- точки $1$ и $5$ (из пункта 1);
- интервалы $(-\infty; 1)$ и $(1; 5)$ (из пункта 2).
Объединение множеств $(-\infty; 1) \cup (1; 5) \cup \{1\} \cup \{5\}$ дает нам единый луч $(-\infty; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$

2.23 a) $(x - 1)^2 (x^2 + 4x - 12) < 0;$

б) $(x + 2)(x^2 - 6x - 16) > 0;$

В) $(x + 3)^2 (x^2 - 10x + 21) \ge 0;$

Г) $(x - 1)(x^2 - 7x + 6) \ge 0.$

а) $(x - 1)^2(x^2 + 4x - 12) < 0$
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), то $(x - 1)^2$ не может быть равен нулю. Следовательно, $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.
При $x \ne 1$ множитель $(x - 1)^2$ всегда положителен. Значит, знак всего выражения зависит только от знака второго множителя. Неравенство сводится к следующему:
$x^2 + 4x - 12 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$, $x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$.
Парабола $y = x^2 + 4x - 12$ с ветвями вверх принимает отрицательные значения между корнями. Решением неравенства $x^2 + 4x - 12 < 0$ является интервал $(-6, 2)$.
Учитывая условие $x \ne 1$, мы должны исключить эту точку из полученного интервала.
Ответ: $x \in (-6, 1) \cup (1, 2)$.

б) $(x + 2)(x^2 - 6x - 16) > 0$
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 6x - 16$ на множители. Для этого найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 6x - 16 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Корни: $x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$, $x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$.
Следовательно, $x^2 - 6x - 16 = (x - (-2))(x - 8) = (x + 2)(x - 8)$.
Подставим это в исходное неравенство:
$(x + 2)(x + 2)(x - 8) > 0$
$(x + 2)^2(x - 8) > 0$
Множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $(x + 2)^2 \ne 0$, что означает $x \ne -2$.
При $x \ne -2$ множитель $(x + 2)^2$ положителен, поэтому знак всего выражения зависит от знака множителя $(x - 8)$. Неравенство сводится к:
$x - 8 > 0$
$x > 8$
Полученное решение $x > 8$ удовлетворяет условию $x \ne -2$.
Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

в) $(x + 3)^2(x^2 - 10x + 21) \ge 0$
Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -3$. Эта точка является решением, так как $0 \ge 0$.
При $x \ne -3$, множитель $(x + 3)^2$ положителен. Тогда неравенство сводится к $x^2 - 10x + 21 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=7$.
Парабола $y = x^2 - 10x + 21$ с ветвями вверх, поэтому она неотрицательна при $x$ вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Решение неравенства $x^2 - 10x + 21 \ge 0$ есть $x \in (-\infty, 3] \cup [7, +\infty)$.
Объединим это решение с решением $x=-3$. Поскольку точка $x=-3$ уже входит в промежуток $(-\infty, 3]$, то итоговое решение не меняется.
Ответ: $x \in (-\infty, 3] \cup [7, +\infty)$.

г) $(x - 1)(x^2 - 7x + 6) \ge 0$
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 6$. Решим уравнение $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Следовательно, $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.
Подставим разложение в исходное неравенство:
$(x - 1)(x - 1)(x - 6) \ge 0$
$(x - 1)^2(x - 6) \ge 0$
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1) Когда $(x-1)^2 = 0$, то есть $x=1$. При этом неравенство становится $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=1$ — это решение.
2) Когда $(x-1)^2 > 0$ (то есть $x \ne 1$), неравенство сводится к $x - 6 \ge 0$, откуда $x \ge 6$.
Объединяем полученные решения: $x=1$ и $x \ge 6$.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [6, +\infty)$.

2.24 а) $(x^2 + 4x + 4)(6x - x^2 + 7) < 0;$

б) $(x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \ge 0;$

в) $(x^2 - 6x + 9)(6 - 5x - x^2) > 0;$

г) $(x - 4)^3(7x - x^2 - 10) \le 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 + 4x + 4)(6x - x^2 + 7) < 0$.
Первый множитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом: $(x+2)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x+2)^2(-x^2 + 6x + 7) < 0$.
Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+2)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, случай $(x+2)^2 = 0$ не является решением. Следовательно, $x \ne -2$.
При $x \ne -2$ множитель $(x+2)^2$ строго положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:
$-x^2 + 6x + 7 < 0$.
Умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 6x - 7 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 - 6x - 7$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решение неравенства $x^2 - 6x - 7 > 0$ есть $x \in (-\infty, -1) \cup (7, \infty)$.
Теперь необходимо учесть условие $x \ne -2$. Точка $-2$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$, поэтому ее нужно исключить.
Окончательное решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (7, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (7, \infty)$.

б) Решим неравенство $(x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \ge 0$.
Знак множителя $(x+3)^3$ совпадает со знаком выражения $(x+3)$. Поэтому неравенство эквивалентно следующему:
$(x + 3)(-x^2 + 3x - 2) \ge 0$.
Вынесем $-1$ из второго множителя:
$-(x + 3)(x^2 - 3x + 2) \ge 0$.
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x + 3)(x^2 - 3x + 2) \le 0$.
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
Неравенство принимает вид:
$(x+3)(x-1)(x-2) \le 0$.
Решим его методом интервалов. Корни (нули функции): $-3, 1, 2$. Отметим их на числовой оси.
Определим знаки выражения на полученных интервалах:
- при $x > 2$ выражение положительно (+).
- при $1 < x < 2$ выражение отрицательно (-).
- при $-3 < x < 1$ выражение положительно (+).
- при $x < -3$ выражение отрицательно (-).
Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Учитывая, что неравенство нестрогое, корни включаются в решение.
Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, 2]$.

в) Решим неравенство $(x^2 - 6x + 9)(6 - 5x - x^2) > 0$.
Первый множитель $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом: $(x-3)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x-3)^2(-x^2 - 5x + 6) > 0$.
Множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $(x-3)^2$ должен быть строго больше нуля, что означает $x \ne 3$.
При $x \ne 3$ можно разделить обе части неравенства на $(x-3)^2$, сохранив знак:
$-x^2 - 5x + 6 > 0$.
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$x^2 + 5x - 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + 5x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Решением является интервал $x \in (-6, 1)$.
Условие $x \ne 3$ не влияет на решение, так как $3$ не входит в интервал $(-6, 1)$.
Ответ: $x \in (-6, 1)$.

г) Решим неравенство $(x - 4)^3(7x - x^2 - 10) \le 0$.
Знак выражения $(x-4)^3$ совпадает со знаком $(x-4)$. Неравенство можно переписать так:
$(x - 4)(-x^2 + 7x - 10) \le 0$.
Вынесем $-1$ из второго множителя:
$-(x - 4)(x^2 - 7x + 10) \le 0$.
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:
$(x - 4)(x^2 - 7x + 10) \ge 0$.
Разложим на множители $x^2 - 7x + 10$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Получаем неравенство:
$(x - 4)(x - 2)(x - 5) \ge 0$.
Для удобства расположим множители в порядке возрастания корней: $(x - 2)(x - 4)(x - 5) \ge 0$.
Решим методом интервалов. Корни: $2, 4, 5$.
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 5$ выражение положительно (+).
- при $4 < x < 5$ выражение отрицательно (-).
- при $2 < x < 4$ выражение положительно (+).
- при $x < 2$ выражение отрицательно (-).
Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю. Так как неравенство нестрогое, корни включаются в решение.
Решение: $x \in [2, 4] \cup [5, \infty)$.
Ответ: $x \in [2, 4] \cup [5, \infty)$.

2.25 а) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 35} > 0;$

Б) $\frac{x^2 - 4x + 12}{9 - x^2} < 0;$

В) $\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 9x + 8} < 0;$

Г) $\frac{x^2 + 7x + 12}{25 - x^2} > 0.$

а) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 35} > 0$, применим метод интервалов.
1. Найдем нули числителя: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Следовательно, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
2. Найдем нули знаменателя: $x^2 - 12x + 35 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 35. Следовательно, корни $x_3 = 5$ и $x_4 = 7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 5$ и $x \neq 7$.
3. Перепишем неравенство в виде разложения на множители: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 5)(x - 7)} > 0$.
4. Отметим на числовой оси точки 2, 3, 5, 7. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; 5)$, $(5; 7)$, $(7; +\infty)$.
5. Определим знак выражения в каждом интервале.

• При $x > 7$ (например, $x=8$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.
• При $x \in (5; 7)$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$.
• При $x \in (3; 5)$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} = +$.
• При $x \in (2; 3)$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} = -$.
• При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$.

6. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; 5) \cup (7; +\infty)$.

б) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 - 4x + 12}{9 - x^2} < 0$.
1. Проанализируем числитель $x^2 - 4x + 12$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D<0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), то квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 12$ положителен при всех действительных значениях $x$.
2. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Следовательно, неравенство равносильно неравенству $9 - x^2 < 0$.
3. Решим неравенство $9 - x^2 < 0$.
$9 < x^2$
$x^2 - 9 > 0$
$(x - 3)(x + 3) > 0$
4. Корнями являются $x = -3$ и $x = 3$. Графиком функции $y = (x - 3)(x + 3)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

в) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 9x + 8} < 0$.
1. Проанализируем числитель $x^2 - 2x + 3$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D<0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), то квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 3$ положителен при всех действительных значениях $x$.
2. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Следовательно, неравенство равносильно неравенству $x^2 + 9x + 8 < 0$.
3. Решим неравенство $x^2 + 9x + 8 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение равно 8. Следовательно, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$.
4. Неравенство можно записать в виде $(x + 8)(x + 1) < 0$. Графиком функции $y = (x + 8)(x + 1)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны в интервале между корнями.
Ответ: $x \in (-8; -1)$.

г) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 + 7x + 12}{25 - x^2} > 0$.
1. Найдем нули числителя: $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение равно 12. Следовательно, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.
2. Найдем нули знаменателя: $25 - x^2 = 0$. Отсюда $x^2 = 25$, то есть $x_3 = -5$ и $x_4 = 5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -5$ и $x \neq 5$.
3. Перепишем неравенство в виде разложения на множители: $\frac{(x + 4)(x + 3)}{(5 - x)(5 + x)} > 0$.
4. Для удобства применения метода интервалов приведем все множители к виду $(x-a)$. Заметим, что $5 - x = -(x - 5)$.
$\frac{(x + 3)(x + 4)}{-(x - 5)(x + 5)} > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{(x + 3)(x + 4)}{(x - 5)(x + 5)} < 0$.
5. Отметим на числовой оси точки -5, -4, -3, 5. Все точки выколотые. Они разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; -5)$, $(-5; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 5)$, $(5; +\infty)$.
6. Определим знак выражения $\frac{(x + 3)(x + 4)}{(x - 5)(x + 5)}$ в каждом интервале.

• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.
• При $x \in (-3; 5)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} = -$.
• При $x \in (-4; -3)$ (например, $x=-3.5$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} = +$.
• При $x \in (-5; -4)$ (например, $x=-4.5$): $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} = -$.
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$.

7. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").
Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (-3; 5)$.

2.26 a) $\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} > 2;$

б) $\frac{2x^2 + x - 16}{x^2 + x} \le 1;$

в) $\frac{1 - x^2}{x^2 + 2x - 8} \ge -1;$

г) $\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2 - 9} < 2.$

а) Решим неравенство $\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} > 2$.
Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} - 2 > 0$
$\frac{2x^2 + 18x - 4 - 2(x^2 + 9x + 8)}{x^2 + 9x + 8} > 0$
$\frac{2x^2 + 18x - 4 - 2x^2 - 18x - 16}{x^2 + 9x + 8} > 0$
$\frac{-20}{x^2 + 9x + 8} > 0$
Так как числитель -20 является отрицательным числом, для того чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным: $x^2 + 9x + 8 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$. Разложим на множители: $(x+8)(x+1) < 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни -8 и -1 делят числовую прямую на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх, отрицательные значения находятся между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-8, -1)$.
Ответ: $x \in (-8, -1)$.

б) Решим неравенство $\frac{2x^2 + x - 16}{x^2 + x} \le 1$.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2x^2 + x - 16}{x^2 + x} - 1 \le 0$
$\frac{2x^2 + x - 16 - (x^2 + x)}{x^2 + x} \le 0$
$\frac{2x^2 + x - 16 - x^2 - x}{x^2 + x} \le 0$
$\frac{x^2 - 16}{x^2 + x} \le 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+1)} \le 0$
Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x=4$, $x=-4$ (эти точки включаем в решение, так как неравенство нестрогое). Нули знаменателя: $x=0$, $x=-1$ (эти точки исключаем из решения, так как на ноль делить нельзя). Отметим точки -4, -1, 0, 4 на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах:
- при $x \in (-\infty, -4]$, выражение $\ge 0$.
- при $x \in [-4, -1)$, выражение $\le 0$.
- при $x \in (-1, 0)$, выражение $> 0$.
- при $x \in (0, 4]$, выражение $\le 0$.
- при $x \in [4, \infty)$, выражение $\ge 0$.
Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in [-4, -1) \cup (0, 4]$.

в) Решим неравенство $\frac{1 - x^2}{x^2 + 2x - 8} \ge -1$.
Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{1 - x^2}{x^2 + 2x - 8} + 1 \ge 0$
$\frac{1 - x^2 + x^2 + 2x - 8}{x^2 + 2x - 8} \ge 0$
$\frac{2x - 7}{x^2 + 2x - 8} \ge 0$
Разложим знаменатель на множители. Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. $\frac{2x - 7}{(x+4)(x-2)} \ge 0$
Применим метод интервалов. Нуль числителя: $2x-7=0 \implies x = 3.5$ (включаем в решение). Нули знаменателя: $x=-4$, $x=2$ (исключаем из решения). Отметим точки -4, 2, 3.5 на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах:
- при $x \in (-\infty, -4)$, выражение $< 0$.
- при $x \in (-4, 2)$, выражение $> 0$.
- при $x \in (2, 3.5]$, выражение $\le 0$.
- при $x \in [3.5, \infty)$, выражение $\ge 0$.
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-4, 2) \cup [3.5, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2 - 9} < 2$.
Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2 - 9} - 2 < 0$
$\frac{x^2 + 3x + 10 - 2(x^2 - 9)}{x^2 - 9} < 0$
$\frac{x^2 + 3x + 10 - 2x^2 + 18}{x^2 - 9} < 0$
$\frac{-x^2 + 3x + 28}{x^2 - 9} < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x^2 - 3x - 28}{x^2 - 9} > 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя $x^2 - 3x - 28 = 0$: по теореме Виета $x_1 = 7, x_2 = -4$. Корни знаменателя $x^2 - 9 = 0$: $x_3 = 3, x_4 = -3$. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-7)(x+4)}{(x-3)(x+3)} > 0$
Применим метод интервалов. Все точки (-4, -3, 3, 7) будут выколотыми, так как неравенство строгое. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах:
- при $x \in (-\infty, -4)$, выражение $> 0$.
- при $x \in (-4, -3)$, выражение $< 0$.
- при $x \in (-3, 3)$, выражение $> 0$.
- при $x \in (3, 7)$, выражение $< 0$.
- при $x \in (7, \infty)$, выражение $> 0$.
Выбираем интервалы, где выражение строго больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 3) \cup (7, \infty)$.

2.27 a) $\frac{x^2 - 14x + 49}{5x^2 - 15x} \le 0;$

б) $\frac{16 - 9x^2}{4x^2 - 4x + 1} \ge 0;$

В) $\frac{3x^2 + 12x}{x^2 + 10x + 25} \ge 0;$

Г) $\frac{9x^2 + 6x + 1}{25 - x^2} \le 0.$

а)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 14x + 49}{5x^2 - 15x} \le 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель за скобки: $5x^2 - 15x = 5x(x - 3)$.

2. Перепишем неравенство в виде:
$\frac{(x - 7)^2}{5x(x - 3)} \le 0$.

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$5x(x - 3) \ne 0$, что означает $x \ne 0$ и $x \ne 3$.

4. Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может поменять знак.
Нуль числителя: $(x - 7)^2 = 0 \Rightarrow x = 7$.
Нули знаменателя: $5x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 3$.

5. Применим метод интервалов. Нанесем найденные точки на числовую прямую. Точки $x=0$ и $x=3$ выкалываем (так как они из знаменателя), а точку $x=7$ закрашиваем (так как неравенство нестрогое и эта точка обращает числитель в ноль).
Множитель $(x - 7)^2$ всегда неотрицателен, поэтому при переходе через точку $x=7$ знак выражения не меняется. Знак дроби определяется знаком выражения $5x(x-3)$.

Определим знаки выражения на интервалах:
- Интервал $(-\infty; 0)$: $x=-1$, $\frac{(-)^2}{(-)(-)_} = \frac{+}{+} > 0$.
- Интервал $(0; 3)$: $x=1$, $\frac{(-)^2}{(+)(-)_} = \frac{+}{-} < 0$.
- Интервал $(3; 7)$: $x=4$, $\frac{(-)^2}{(+)(+)_} = \frac{+}{+} > 0$.
- Интервал $(7; +\infty)$: $x=10$, $\frac{(+)^2}{(+)(+)_} = \frac{+}{+} > 0$.

6. Неравенство требует найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю.
Выражение меньше нуля на интервале $(0; 3)$.
Выражение равно нулю при $x = 7$.

Объединяем полученные результаты.

Ответ: $x \in (0; 3) \cup \{7\}$.

б)

Решим неравенство $\frac{16 - 9x^2}{4x^2 - 4x + 1} \ge 0$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель - разность квадратов: $16 - 9x^2 = (4 - 3x)(4 + 3x)$.
Знаменатель - полный квадрат разности: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$.

2. Перепишем неравенство:
$\frac{(4 - 3x)(4 + 3x)}{(2x - 1)^2} \ge 0$.

3. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $(2x - 1)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}$.

4. Нули числителя: $(4 - 3x)(4 + 3x) = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}, x = -\frac{4}{3}$.
Нуль знаменателя: $x = \frac{1}{2}$.

5. Используем метод интервалов. Наносим на ось точки $-\frac{4}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$. Точки $x = \pm\frac{4}{3}$ закрашенные, точка $x=\frac{1}{2}$ выколотая.
Знаменатель $(2x - 1)^2$ всегда положителен при $x \ne \frac{1}{2}$, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя $(4 - 3x)(4 + 3x) = 16 - 9x^2$.
График функции $y = 16 - 9x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Она принимает неотрицательные значения между своими корнями.

6. Таким образом, решение неравенства $(4 - 3x)(4 + 3x) \ge 0$ есть отрезок $[-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}]$.
Учитывая ОДЗ, мы должны исключить из этого отрезка точку $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{4}{3}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{4}{3}]$.

в)

Решим неравенство $\frac{3x^2 + 12x}{x^2 + 10x + 25} \ge 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $3x^2 + 12x = 3x(x + 4)$.
Знаменатель: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.

2. Перепишем неравенство:
$\frac{3x(x + 4)}{(x + 5)^2} \ge 0$.

3. ОДЗ: $(x + 5)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$.

4. Нули числителя: $3x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = -4$.
Нуль знаменателя: $x = -5$.

5. Наносим на числовую ось точки -5, -4, 0. Точка $x=-5$ выколотая, точки $x=-4$ и $x=0$ закрашенные.
Знаменатель $(x+5)^2$ всегда положителен при $x \ne -5$, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя $3x(x+4)$.
График $y = 3x(x+4)$ — парабола с ветвями вверх. Она неотрицательна при $x \le -4$ и при $x \ge 0$.

6. Решением будет объединение промежутков $(-\infty, -4]$ и $[0, +\infty)$.
Необходимо учесть ОДЗ и исключить точку $x=-5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -4] \cup [0; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{9x^2 + 6x + 1}{25 - x^2} \le 0$.

1. Разложим на множители.
Числитель: $9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2$.
Знаменатель: $25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$.

2. Перепишем неравенство:
$\frac{(3x + 1)^2}{(5 - x)(5 + x)} \le 0$.

3. ОДЗ: $(5 - x)(5 + x) \ne 0 \Rightarrow x \ne 5, x \ne -5$.

4. Нуль числителя: $(3x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
Нули знаменателя: $x=5, x=-5$.

5. Наносим на ось точки -5, $-\frac{1}{3}$, 5. Точки $x=\pm 5$ выколотые, точка $x=-\frac{1}{3}$ закрашенная.
Числитель $(3x + 1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -\frac{1}{3}$ (это решение) и положителен в остальных случаях.
Чтобы дробь была меньше нуля, знаменатель $(5 - x)(5 + x)$ должен быть отрицательным.
График $y = 25 - x^2$ — парабола с ветвями вниз. Она отрицательна вне интервала между корнями, то есть при $x < -5$ и $x > 5$.

6. Собираем решение:
- Дробь меньше нуля при $x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.
- Дробь равна нулю при $x = -\frac{1}{3}$.

Объединяем эти множества.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup \{-\frac{1}{3}\} \cup (5; +\infty)$.