Номер 2.20, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.20 a) $x + \frac{8}{x} \le 6;$

б) $x + \frac{2}{x} \ge 3;$

В) $x + \frac{3}{x} \le -4;$

Г) $x - \frac{8}{x} > 2.$

а) $x + \frac{8}{x} \le 6$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в знаменателе стоит $x$, то $x \ne 0$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем их к общему знаменателю:

$x + \frac{8}{x} - 6 \le 0$

$\frac{x^2}{x} + \frac{8}{x} - \frac{6x}{x} \le 0$

$\frac{x^2 - 6x + 8}{x} \le 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя находятся из уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Корень знаменателя: $x=0$.

Нанесем точки $0, 2, 4$ на числовую ось. Точки $2$ и $4$ будут закрашенными (включены в решение), так как неравенство нестрогое, а точка $0$ — выколотой, так как она из ОДЗ. Эти точки разбивают ось на четыре интервала. Определим знак дроби $\frac{(x-2)(x-4)}{x}$ на каждом из них:

- при $x \in (4, +\infty)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (2, 4)$, выражение отрицательно (−).
- при $x \in (0, 2)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-\infty, 0)$, выражение отрицательно (−).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, 0)$ и $[2, 4]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

б) $x + \frac{2}{x} \ge 3$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$x + \frac{2}{x} - 3 \ge 0$

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Корень знаменателя: $x=0$.

Отмечаем на числовой оси точки $0, 1, 2$. Точки $1$ и $2$ закрашенные (неравенство нестрогое), $0$ — выколотая. Определяем знаки выражения $\frac{(x-1)(x-2)}{x}$ на интервалах:

- при $x \in (2, +\infty)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (1, 2)$, выражение отрицательно (−).
- при $x \in (0, 1)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-\infty, 0)$, выражение отрицательно (−).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(0, 1]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [2, \infty)$.

в) $x + \frac{3}{x} \le -4$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$x + \frac{3}{x} + 4 \le 0$

$\frac{x^2 + 4x + 3}{x} \le 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Корень знаменателя: $x=0$.

Отмечаем на числовой оси точки $-3, -1, 0$. Точки $-3$ и $-1$ закрашенные, $0$ — выколотая. Определяем знаки выражения $\frac{(x+1)(x+3)}{x}$ на интервалах:

- при $x \in (0, +\infty)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-1, 0)$, выражение отрицательно (−).
- при $x \in (-3, -1)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-\infty, -3)$, выражение отрицательно (−).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -3]$ и $[-1, 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0)$.

г) $x - \frac{8}{x} > 2$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$x - \frac{8}{x} - 2 > 0$

$\frac{x^2 - 2x - 8}{x} > 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Корень знаменателя: $x=0$.

Отмечаем на числовой оси точки $-2, 0, 4$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое, а $x=0$ не входит в ОДЗ. Определяем знаки выражения $\frac{(x-4)(x+2)}{x}$ на интервалах:

- при $x \in (4, +\infty)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (0, 4)$, выражение отрицательно (−).
- при $x \in (-2, 0)$, выражение положительно (+).
- при $x \in (-\infty, -2)$, выражение отрицательно (−).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это интервалы $(-2, 0)$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (4, \infty)$.