Номер 2.14, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.14 a) $-2x^2 + x - 3 < 0;$

б) $-4x^2 + x - 1 \ge 0;$

в) $-6x^2 + 5x - 8 > 0;$

г) $-3x^2 + 4x - 5 \le 0.$

а) $-2x^2 + x - 3 < 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -2x^2 + x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -2 < 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 + x - 3 = 0$:
$a = -2$, $b = 1$, $c = -3$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 1 - 24 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), вся парабола находится ниже оси абсцисс. Это означает, что значение функции $y = -2x^2 + x - 3$ является отрицательным при любом значении $x$.

Таким образом, неравенство $-2x^2 + x - 3 < 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-4x^2 + x - 1 \ge 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -4x^2 + x - 1$. Ветви этой параболы направлены вниз, так как $a = -4 < 0$.

Найдем дискриминант уравнения $-4x^2 + x - 1 = 0$:
$a = -4$, $b = 1$, $c = -1$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$ и $a < 0$, парабола полностью расположена ниже оси абсцисс и не имеет с ней точек пересечения. Это означает, что значение функции $y = -4x^2 + x - 1$ всегда отрицательно.

Неравенство требует найти значения $x$, при которых $-4x^2 + x - 1 \ge 0$, то есть где функция принимает неотрицательные значения. Поскольку функция всегда отрицательна, таких значений $x$ не существует.

Ответ: нет решений (или $x \in \varnothing$).

в) $-6x^2 + 5x - 8 > 0$

Рассмотрим функцию $y = -6x^2 + 5x - 8$. Ветви параболы направлены вниз, так как $a = -6 < 0$.

Найдем дискриминант уравнения $-6x^2 + 5x - 8 = 0$:
$a = -6$, $b = 5$, $c = -8$
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-8) = 25 - 192 = -167$.

Дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a < 0$, следовательно, парабола целиком лежит ниже оси абсцисс. Это значит, что для любого $x$ значение функции $y = -6x^2 + 5x - 8$ отрицательно.

Неравенство $-6x^2 + 5x - 8 > 0$ требует, чтобы значение функции было положительным. Так как функция принимает только отрицательные значения, решений у неравенства нет.

Ответ: нет решений (или $x \in \varnothing$).

г) $-3x^2 + 4x - 5 \le 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 + 4x - 5$. Ветви этой параболы направлены вниз, потому что $a = -3 < 0$.

Найдем дискриминант уравнения $-3x^2 + 4x - 5 = 0$:
$a = -3$, $b = 4$, $c = -5$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-5) = 16 - 60 = -44$.

Поскольку $D < 0$ и $a < 0$, вся парабола находится ниже оси абсцисс. Это означает, что значение функции $y = -3x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно.

Неравенство $-3x^2 + 4x - 5 \le 0$ требует, чтобы значение функции было неположительным (меньше или равно нулю). Так как функция всегда отрицательна, это условие выполняется при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.