Номер 2.12, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2.12 a) $x^2 + 6x + 9 \ge 0$;

б) $-4x^2 + 20x > 25$;

В) $49x^2 + 14x + 1 \le 0$;

Г) $-x^2 + 8x \ge 16$.

а) $x^2 + 6x + 9 \ge 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, мы можем свернуть выражение:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$(x+3)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-4x^2 + 20x > 25$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-4x^2 + 20x - 25 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом изменив знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 20x + 25 < 0$

Левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x - 5)^2$

Неравенство принимает вид:

$(2x - 5)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) $49x^2 + 14x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы:

$(7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot 1 + 1^2 = (7x + 1)^2$

Неравенство принимает вид:

$(7x + 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(7x + 1)^2 \ge 0$. Поэтому исходное неравенство может выполняться только в одном случае: когда левая часть равна нулю.

$(7x + 1)^2 = 0$

$7x + 1 = 0$

$7x = -1$

$x = -1/7$

Ответ: $x = -1/7$.

г) $-x^2 + 8x \ge 16$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-x^2 + 8x - 16 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 8x + 16 \le 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$

Неравенство принимает вид:

$(x - 4)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ($(x - 4)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только тогда, когда левая часть равна нулю.

$(x - 4)^2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.