Страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.11 a) $x^2 + 4x + 3 \le 0;$

б) $8 - 2x \ge x^2;$

В) $-x^2 - 10 \le 7x;$

Г) $x^2 - 6x + 5 \ge 0.$

а) Решим неравенство $x^2 + 4x + 3 \le 0$.
Для начала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, его можно решить с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$
Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = -1$.
Неравенство $x^2 + 4x + 3 \le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси Ox. Это происходит между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-3, -1]$.
Ответ: $x \in [-3; -1]$.

б) Решим неравенство $8 - 2x \ge x^2$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 + 2x - 8 \le 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -4$ и $x = 2$.
Неравенство $x^2 + 2x - 8 \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже или на оси Ox, то есть между корнями, включая их.
Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[-4, 2]$.
Ответ: $x \in [-4; 2]$.

в) Решим неравенство $-x^2 - 10 \le 7x$.
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$0 \le x^2 + 7x + 10$
Что эквивалентно $x^2 + 7x + 10 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$
Графиком функции $y = x^2 + 7x + 10$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x = -5$ и $x = -2$.
Неравенство $x^2 + 7x + 10 \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше или на оси Ox. Это происходит на двух промежутках: левее меньшего корня и правее большего корня.
Решением является объединение промежутков $(-\infty, -5]$ и $[-2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 - 6x + 5 \ge 0$.
Неравенство уже в стандартном виде. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1$
$x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$
Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x = 1$ и $x = 5$.
Неравенство $x^2 - 6x + 5 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится выше или на оси Ox. Это соответствует промежуткам левее корня 1 и правее корня 5, включая сами корни.
Решением является объединение промежутков $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$.

2.12 a) $x^2 + 6x + 9 \ge 0$;

б) $-4x^2 + 20x > 25$;

В) $49x^2 + 14x + 1 \le 0$;

Г) $-x^2 + 8x \ge 16$.

а) $x^2 + 6x + 9 \ge 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, мы можем свернуть выражение:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$(x+3)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-4x^2 + 20x > 25$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-4x^2 + 20x - 25 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом изменив знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 20x + 25 < 0$

Левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x - 5)^2$

Неравенство принимает вид:

$(2x - 5)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) $49x^2 + 14x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы:

$(7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot 1 + 1^2 = (7x + 1)^2$

Неравенство принимает вид:

$(7x + 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(7x + 1)^2 \ge 0$. Поэтому исходное неравенство может выполняться только в одном случае: когда левая часть равна нулю.

$(7x + 1)^2 = 0$

$7x + 1 = 0$

$7x = -1$

$x = -1/7$

Ответ: $x = -1/7$.

г) $-x^2 + 8x \ge 16$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-x^2 + 8x - 16 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 8x + 16 \le 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$

Неравенство принимает вид:

$(x - 4)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ($(x - 4)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только тогда, когда левая часть равна нулю.

$(x - 4)^2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

2.13 a) $4x^2 + x + 1 > 0;$

б) $7x^2 + 3 \le 2x;$

В) $3x^2 + 4 < x;$

Г) $5x^2 + 6x + 13 \ge 0.$

а) $4x^2 + x + 1 > 0$
Для решения неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 4x^2 + x + 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 4 > 0$.
Найдем нули функции, для этого решим уравнение $4x^2 + x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, действительных корней у уравнения нет. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (Ox).
Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, выражение $4x^2 + x + 1$ всегда принимает положительные значения.
Таким образом, неравенство $4x^2 + x + 1 > 0$ выполняется при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $7x^2 + 3 \le 2x$
Сначала приведем неравенство к стандартному виду, перенеся все члены в одну сторону: $7x^2 - 2x + 3 \le 0$.
Рассмотрим функцию $y = 7x^2 - 2x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 7 > 0$.
Найдем нули функции, решив уравнение $7x^2 - 2x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 4 - 84 = -80$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox.
Поскольку ветви параболы направлены вверх и она полностью лежит выше оси Ox, значения функции $y = 7x^2 - 2x + 3$ всегда положительны.
Неравенство $7x^2 - 2x + 3 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Так как оно всегда положительно, у неравенства нет решений.
Ответ: решений нет.

в) $3x^2 + 4 < x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид: $3x^2 - x + 4 < 0$.
Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - x + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 3 > 0$.
Найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 - x + 4 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47$.
Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.
Так как ветви параболы направлены вверх и она находится целиком выше оси Ox, значения функции $y = 3x^2 - x + 4$ всегда положительны.
Неравенство $3x^2 - x + 4 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным. Так как оно всегда положительно, у неравенства нет решений.
Ответ: решений нет.

г) $5x^2 + 6x + 13 \ge 0$
Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 + 6x + 13$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 5 > 0$.
Найдем нули функции, решив уравнение $5x^2 + 6x + 13 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 13 = 36 - 260 = -224$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, следовательно, парабола не пересекает ось Ox.
Поскольку ветви параболы направлены вверх и она вся расположена выше оси Ox, выражение $5x^2 + 6x + 13$ всегда положительно.
Неравенство $5x^2 + 6x + 13 \ge 0$ требует, чтобы выражение было больше или равно нулю. Так как оно всегда положительно, неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2.14 a) $-2x^2 + x - 3 < 0;$

б) $-4x^2 + x - 1 \ge 0;$

в) $-6x^2 + 5x - 8 > 0;$

г) $-3x^2 + 4x - 5 \le 0.$

а) $-2x^2 + x - 3 < 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -2x^2 + x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -2 < 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 + x - 3 = 0$:
$a = -2$, $b = 1$, $c = -3$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 1 - 24 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), вся парабола находится ниже оси абсцисс. Это означает, что значение функции $y = -2x^2 + x - 3$ является отрицательным при любом значении $x$.

Таким образом, неравенство $-2x^2 + x - 3 < 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-4x^2 + x - 1 \ge 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -4x^2 + x - 1$. Ветви этой параболы направлены вниз, так как $a = -4 < 0$.

Найдем дискриминант уравнения $-4x^2 + x - 1 = 0$:
$a = -4$, $b = 1$, $c = -1$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$ и $a < 0$, парабола полностью расположена ниже оси абсцисс и не имеет с ней точек пересечения. Это означает, что значение функции $y = -4x^2 + x - 1$ всегда отрицательно.

Неравенство требует найти значения $x$, при которых $-4x^2 + x - 1 \ge 0$, то есть где функция принимает неотрицательные значения. Поскольку функция всегда отрицательна, таких значений $x$ не существует.

Ответ: нет решений (или $x \in \varnothing$).

в) $-6x^2 + 5x - 8 > 0$

Рассмотрим функцию $y = -6x^2 + 5x - 8$. Ветви параболы направлены вниз, так как $a = -6 < 0$.

Найдем дискриминант уравнения $-6x^2 + 5x - 8 = 0$:
$a = -6$, $b = 5$, $c = -8$
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-8) = 25 - 192 = -167$.

Дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a < 0$, следовательно, парабола целиком лежит ниже оси абсцисс. Это значит, что для любого $x$ значение функции $y = -6x^2 + 5x - 8$ отрицательно.

Неравенство $-6x^2 + 5x - 8 > 0$ требует, чтобы значение функции было положительным. Так как функция принимает только отрицательные значения, решений у неравенства нет.

Ответ: нет решений (или $x \in \varnothing$).

г) $-3x^2 + 4x - 5 \le 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 + 4x - 5$. Ветви этой параболы направлены вниз, потому что $a = -3 < 0$.

Найдем дискриминант уравнения $-3x^2 + 4x - 5 = 0$:
$a = -3$, $b = 4$, $c = -5$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-5) = 16 - 60 = -44$.

Поскольку $D < 0$ и $a < 0$, вся парабола находится ниже оси абсцисс. Это означает, что значение функции $y = -3x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно.

Неравенство $-3x^2 + 4x - 5 \le 0$ требует, чтобы значение функции было неположительным (меньше или равно нулю). Так как функция всегда отрицательна, это условие выполняется при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2.15 Укажите целые решения неравенства:

а) $-4x^2 + 15x + 4 > 0;$

б) $\frac{2x + 7}{x - 1} \le 0;$

в) $2x^2 - 7x + 3 \le 0;$

г) $\frac{x + 2}{22 - 4x} > 0.$

а) $-4x^2 + 15x + 4 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-4x^2 + 15x + 4 = 0$. Умножим обе части на -1, чтобы получить положительный старший коэффициент, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $4x^2 - 15x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $4x^2 - 15x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

Графиком функции $y = 4x^2 - 15x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $4x^2 - 15x - 4 < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, решение неравенства — это интервал $x \in (-0.25; 4)$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

б) $\frac{2x + 7}{x - 1} \le 0$

Для решения дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $2x + 7 = 0$, откуда $x = -3.5$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), эта точка является решением.

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Эта точка не является решением, так как деление на ноль недопустимо (точка выколотая).

Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак дроби в каждом интервале. Выражение $\frac{2x + 7}{x - 1}$ отрицательно на интервале $(-3.5; 1)$.

Таким образом, с учетом нестрогого знака, решение неравенства — это полуинтервал $x \in [-3.5; 1)$.

Целые числа, входящие в этот полуинтервал: -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

в) $2x^2 - 7x + 3 \le 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Ветви параболы $y = 2x^2 - 7x + 3$ направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2 - 7x + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in [0.5; 3]$.

Целые решения, принадлежащие этому отрезку: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

г) $\frac{x + 2}{22 - 4x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Нуль знаменателя: $22 - 4x = 0 \implies 4x = 22 \implies x = 5.5$.

Неравенство строгое ($>$), поэтому обе точки ($x=-2$ и $x=5.5$) не входят в решение (выколотые).

Точки -2 и 5.5 делят числовую ось на три интервала. Определим знак выражения в каждом из них. На интервале $(-2; 5.5)$ выражение положительно. Например, при $x=0$ получаем $\frac{2}{22} > 0$. На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(5.5; +\infty)$ выражение отрицательно.

Решением неравенства является интервал $x \in (-2; 5.5)$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

2.16 a) $(2 - 3x)(3x + 2)(5 + 3x)(2x - 3) > 0;$

б) $(2x + 1)(1 - 2x)(x - 1)(2 - 3x) > 0;$

в) $(3x - 2)(5 - x)(x + 1)(2 - x) < 0;$

г) $(2x + 5)(4x + 3)(7 - 2x)(x - 3) < 0.$

а) $(2 - 3x)(3x + 2)(5 + 3x)(2x - 3) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов приведем множители к виду, где коэффициент при $x$ положителен.

Заметим, что $(2 - 3x) = -(3x - 2)$. Подставим это в исходное неравенство:

$-(3x - 2)(3x + 2)(5 + 3x)(2x - 3) > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$(3x - 2)(3x + 2)(3x + 5)(2x - 3) < 0$

Теперь найдем корни уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(3x - 2)(3x + 2)(3x + 5)(2x - 3) = 0$

Корни уравнения:

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}$

$3x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}$

$3x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -\frac{5}{3}$

$2x - 3 = 0 \Rightarrow x_4 = \frac{3}{2}$

Отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: $-\frac{5}{3}$, $-\frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$. Эти точки разбивают ось на пять интервалов.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(\frac{3}{2}, +\infty)$, например, при $x = 2$:

$(3 \cdot 2 - 2)(3 \cdot 2 + 2)(3 \cdot 2 + 5)(2 \cdot 2 - 3) = (4)(8)(11)(1) > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Нам нужно найти решение для неравенства $(3x - 2)(3x + 2)(3x + 5)(2x - 3) < 0$, то есть выбрать интервалы со знаком "минус".

Это интервалы $(-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$.

б) $(2x + 1)(1 - 2x)(x - 1)(2 - 3x) > 0$

Преобразуем множители, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными:

$(1 - 2x) = -(2x - 1)$

$(2 - 3x) = -(3x - 2)$

Подставив в неравенство, получим:

$(2x + 1)(-(2x - 1))(x - 1)(-(3x - 2)) > 0$

$(2x + 1)(2x - 1)(x - 1)(3x - 2) > 0$

Найдем корни, приравняв левую часть к нулю:

$2x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{2}$

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1$

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x_4 = \frac{2}{3}$

Расположим корни на числовой оси: $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $1$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(1, +\infty)$, например, при $x=2$:

$(2 \cdot 2 + 1)(2 \cdot 2 - 1)(2 - 1)(3 \cdot 2 - 2) = (5)(3)(1)(4) > 0$.

Знаки в интервалах чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Мы ищем решения для неравенства $> 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Это интервалы $(-\infty, -\frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}) \cup (1, +\infty)$.

в) $(3x - 2)(5 - x)(x + 1)(2 - x) < 0$

Преобразуем множители:

$(5 - x) = -(x - 5)$

$(2 - x) = -(x - 2)$

Подставляем в неравенство:

$(3x - 2)(-(x - 5))(x + 1)(-(x - 2)) < 0$

$(3x - 2)(x - 5)(x + 1)(x - 2) < 0$

Найдем корни уравнения:

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_4 = 2$

Расположим корни на числовой оси: $-1$, $\frac{2}{3}$, $2$, $5$.

Определим знак в интервале $(5, +\infty)$, взяв $x=6$:

$(3 \cdot 6 - 2)(6 - 5)(6 + 1)(6 - 2) = (16)(1)(7)(4) > 0$.

Знаки в интервалах чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Мы ищем решения для неравенства $< 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "минус".

Это интервалы $(-1, \frac{2}{3})$ и $(2, 5)$.

Ответ: $x \in (-1, \frac{2}{3}) \cup (2, 5)$.

г) $(2x + 5)(4x + 3)(7 - 2x)(x - 3) < 0$

Преобразуем множитель $(7 - 2x) = -(2x - 7)$.

$(2x + 5)(4x + 3)(-(2x - 7))(x - 3) < 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$(2x + 5)(4x + 3)(2x - 7)(x - 3) > 0$

Найдем корни уравнения:

$2x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{5}{2}$

$4x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{4}$

$2x - 7 = 0 \Rightarrow x_3 = \frac{7}{2}$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_4 = 3$

Расположим корни на числовой оси: $-\frac{5}{2}$, $-\frac{3}{4}$, $3$, $\frac{7}{2}$.

Определим знак в интервале $(\frac{7}{2}, +\infty)$, взяв $x=4$:

$(2 \cdot 4 + 5)(4 \cdot 4 + 3)(2 \cdot 4 - 7)(4 - 3) = (13)(19)(1)(1) > 0$.

Знаки в интервалах чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Мы ищем решения для неравенства $> 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Это интервалы $(-\infty, -\frac{5}{2})$, $(-\frac{3}{4}, 3)$ и $(\frac{7}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{2}) \cup (-\frac{3}{4}, 3) \cup (\frac{7}{2}, +\infty)$.

2.17 а) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} \ge 0;$

Б) $\frac{x(x^2 - 16)}{x^2 - 9} \le 0;$

В) $\frac{x^2 - 169}{x^2 - 100} \le 0;$

Г) $\frac{x^2 - 49}{x(x^2 - 144)} > 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} \ge 0$.
1. Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \ge 0$.
2. Найдем нули числителя (точки, в которых выражение равно нулю) и нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено).
Нули числителя: $(x-2)(x+2) = 0$, откуда $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки включаются в решение и на числовой оси отмечаются закрашенными кружками.
Нули знаменателя: $(x-3)(x+3) = 0$, откуда $x_3 = 3$, $x_4 = -3$. Эти точки не входят в область допустимых значений (ОДЗ), поэтому они всегда исключаются из решения и на числовой оси отмечаются выколотыми (пустыми) кружками.
3. Отметим все найденные точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из получившихся интервалов.
Ось будет разделена точками -3, -2, 2, 3 на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2]$, $[-2; 2]$, $[2; 3)$, $(3; +\infty)$.
- В интервале $(3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
- В интервале $(2; 3)$ возьмем $x=2.5$: $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$.
- В интервале $[-2; 2]$ возьмем $x=0$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} > 0$.
- В интервале $(-3; -2)$ возьмем $x=-2.5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$.
- В интервале $(-\infty; -3)$ возьмем $x=-4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$).
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 2] \cup (3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x(x^2 - 16)}{x^2 - 9} \le 0$.
1. Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{x(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+3)} \le 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя (включаются в решение): $x(x-4)(x+4)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=4$, $x_3=-4$.
Нули знаменателя (исключаются из решения): $(x-3)(x+3)=0$, откуда $x_4=3$, $x_5=-3$.
3. Отметим точки -4, -3, 0, 3, 4 на числовой оси и определим знаки.
Интервалы: $(-\infty; -4]$, $[-4; -3)$, $(-3; 0]$, $[0; 3)$, $(3; 4]$, $[4; +\infty)$.
- В интервале $(4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{(+)(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
- В интервале $(3; 4)$ возьмем $x=3.5$: $\frac{(+)(-)(+)}{(+)(+)} < 0$.
- В интервале $(0; 3)$ возьмем $x=1$: $\frac{(+)(-)(+)}{(-)(+)} > 0$.
- В интервале $(-3; 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{(-)(-)(+)}{(-)(+)} < 0$.
- В интервале $(-4; -3)$ возьмем $x=-3.5$: $\frac{(-)(-)(+)}{(-)(-)} > 0$.
- В интервале $(-\infty; -4)$ возьмем $x=-5$: $\frac{(-)(-)(-)}{(-)(-)} < 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup (-3; 0] \cup (3; 4]$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2 - 169}{x^2 - 100} \le 0$.
1. Разложим на множители числитель и знаменатель:
$\frac{(x-13)(x+13)}{(x-10)(x+10)} \le 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя (включаются): $(x-13)(x+13)=0$, откуда $x_1=13$, $x_2=-13$.
Нули знаменателя (исключаются): $(x-10)(x+10)=0$, откуда $x_3=10$, $x_4=-10$.
3. Отметим точки -13, -10, 10, 13 на числовой оси и определим знаки.
Интервалы: $(-\infty; -13]$, $[-13; -10)$, $(-10; 10)$, $(10; 13]$, $[13; +\infty)$.
- В интервале $(13; +\infty)$ возьмем $x=14$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
- В интервале $(10; 13)$ возьмем $x=11$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$.
- В интервале $(-10; 10)$ возьмем $x=0$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$.
- В интервале $(-13; -10)$ возьмем $x=-11$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$.
- В интервале $(-\infty; -13)$ возьмем $x=-14$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Ответ: $x \in [-13; -10) \cup (10; 13]$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2 - 49}{x(x^2 - 144)} > 0$.
1. Разложим на множители числитель и знаменатель:
$\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-12)(x+12)} > 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя. Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми (не включаются в решение).
Нули числителя: $(x-7)(x+7)=0$, откуда $x_1=7$, $x_2=-7$.
Нули знаменателя: $x(x-12)(x+12)=0$, откуда $x_3=0$, $x_4=12$, $x_5=-12$.
3. Отметим точки -12, -7, 0, 7, 12 на числовой оси и определим знаки.
Интервалы: $(-\infty; -12)$, $(-12; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 7)$, $(7; 12)$, $(12; +\infty)$.
- В интервале $(12; +\infty)$ возьмем $x=13$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)(+)} > 0$.
- В интервале $(7; 12)$ возьмем $x=10$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)(+)} < 0$.
- В интервале $(0; 7)$ возьмем $x=1$: $\frac{(-)(+)}{(+)(-)(+)} > 0$.
- В интервале $(-7; 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)(+)} < 0$.
- В интервале $(-12; -7)$ возьмем $x=-10$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)(+)} > 0$.
- В интервале $(-\infty; -12)$ возьмем $x=-13$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)(-)} < 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение строго больше нуля ($> 0$).
Ответ: $x \in (-12; -7) \cup (0; 7) \cup (12; +\infty)$.

2.18 a) $x^3 - 64x > 0;$

Б) $x^3 \le 2x;$

В) $x^3 \ge x;$

Г) $x^3 - 10x < 0.$

а) Решим неравенство $x^3 - 64x > 0$.
Для решения используем метод интервалов. Сначала разложим левую часть неравенства на множители.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 64) > 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x(x - 8)(x + 8) > 0$.
Теперь найдем корни уравнения $x(x - 8)(x + 8) = 0$. Корнями являются $x_1 = -8$, $x_2 = 0$, $x_3 = 8$.
Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на четыре интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:
- для интервала $(8; +\infty)$, возьмем $x=10$: $10(10-8)(10+8) = 10 \cdot 2 \cdot 18 > 0$. Знак "+".
- для интервала $(0; 8)$, возьмем $x=1$: $1(1-8)(1+8) = 1 \cdot (-7) \cdot 9 < 0$. Знак "-".
- для интервала $(-8; 0)$, возьмем $x=-1$: $-1(-1-8)(-1+8) = (-1) \cdot (-9) \cdot 7 > 0$. Знак "+".
- для интервала $(-\infty; -8)$, возьмем $x=-10$: $-10(-10-8)(-10+8) = (-10) \cdot (-18) \cdot (-2) < 0$. Знак "-".
Поскольку неравенство строгое ($>$), нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Это интервалы $(-8; 0)$ и $(8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-8; 0) \cup (8; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^3 \le 2x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^3 - 2x \le 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 2) \le 0$.
Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:
$x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \le 0$.
Найдем корни уравнения $x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$. Корнями являются $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{2}$.
Так как неравенство нестрогое ($\le$), корни входят в решение. Отметим их на числовой оси закрашенными точками.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -\sqrt{2}]$, $[-\sqrt{2}; 0]$, $[0; \sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$.
- при $x > \sqrt{2}$ (например, $x=2$): $2(2^2-2) > 0$. Знак "+".
- при $0 < x < \sqrt{2}$ (например, $x=1$): $1(1^2-2) < 0$. Знак "-".
- при $-\sqrt{2} < x < 0$ (например, $x=-1$): $-1((-1)^2-2) > 0$. Знак "+".
- при $x < -\sqrt{2}$ (например, $x=-2$): $-2((-2)^2-2) < 0$. Знак "-".
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[0; \sqrt{2}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [0; \sqrt{2}]$.

в) Решим неравенство $x^3 \ge x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^3 - x \ge 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) \ge 0$.
Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:
$x(x - 1)(x + 1) \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x(x - 1)(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому корни включаются в решение. Отметим их на числовой оси закрашенными точками.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -1]$, $[-1; 0]$, $[0; 1]$ и $[1; +\infty)$.
- при $x > 1$ (например, $x=2$): $2(2-1)(2+1) > 0$. Знак "+".
- при $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $0.5(0.5-1)(0.5+1) < 0$. Знак "-".
- при $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $-0.5(-0.5-1)(-0.5+1) > 0$. Знак "+".
- при $x < -1$ (например, $x=-2$): $-2(-2-1)(-2+1) < 0$. Знак "-".
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1; 0] \cup [1; +\infty)$.

г) Решим неравенство $x^3 - 10x < 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 10) < 0$.
Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:
$x(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) < 0$.
Найдем корни уравнения $x(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) = 0$. Корнями являются $x_1 = -\sqrt{10}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{10}$.
Неравенство строгое (<), поэтому корни не включаются в решение. Отметим их на числовой оси выколотыми точками.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -\sqrt{10})$, $(-\sqrt{10}; 0)$, $(0; \sqrt{10})$ и $(\sqrt{10}; +\infty)$.
- при $x > \sqrt{10}$ (например, $x=4$): $4(4^2-10) > 0$. Знак "+".
- при $0 < x < \sqrt{10}$ (например, $x=1$): $1(1^2-10) < 0$. Знак "-".
- при $-\sqrt{10} < x < 0$ (например, $x=-1$): $-1((-1)^2-10) > 0$. Знак "+".
- при $x < -\sqrt{10}$ (например, $x=-4$): $-4((-4)^2-10) < 0$. Знак "-".
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -\sqrt{10})$ и $(0; \sqrt{10})$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (0; \sqrt{10})$.

2.19 a) $\frac{(x-1)(3x-2)}{5-2x} > 0;$

Б) $\frac{(2x+3)(2x+1)}{(x-1)(x-4)} \ge 0;$

В) $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(3-x)} \le 0;$

Г) $\frac{7-x}{(3x-2)(2x+1)(x-4)} < 0.$

а) Решим неравенство $\frac{(x-1)(3x-2)}{5-2x} > 0$.
Для решения неравенства используем метод интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x-1=0 \implies x=1$; $3x-2=0 \implies x=2/3$.
Нуль знаменателя: $5-2x=0 \implies x=5/2=2.5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 2.5$.
2. Приведем неравенство к стандартному виду, чтобы все коэффициенты при $x$ были положительными. $5-2x = -(2x-5)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(3x-2)}{-(2x-5)} > 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{(x-1)(3x-2)}{2x-5} < 0$.
3. Отметим найденные точки на числовой оси: $2/3$, $1$, $2.5$. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $x > 2.5$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $1 < x < 2.5$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.
- При $2/3 < x < 1$ (например, $x=0.8$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
- При $x < 2/3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
4. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.
Это интервалы $(-\infty, 2/3)$ и $(1, 2.5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2/3) \cup (1; 2.5)$.

б) Решим неравенство $\frac{(2x+3)(2x+1)}{(x-1)(x-4)} \ge 0$.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $2x+3=0 \implies x=-3/2=-1.5$; $2x+1=0 \implies x=-1/2=-0.5$. Так как неравенство нестрогое, эти точки включаются в решение.
Нули знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$; $x-4=0 \implies x=4$. Эти точки исключаются из решения, так как на ноль делить нельзя.
2. Все множители в стандартном виде. Отметим точки на числовой оси. Точки $-1.5$ и $-0.5$ — закрашенные, а $1$ и $4$ — выколотые.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $x>4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
- При $1 < x < 4$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$.
- При $-0.5 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} > 0$.
- При $-1.5 < x < -0.5$ (например, $x=-1$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$.
- При $x < -1.5$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.
3. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Это интервалы $(-\infty, -1.5]$, $[-0.5, 1)$ и $(4, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [-0.5; 1) \cup (4; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(3-x)} \le 0$.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x=-1, x=-2, x=-3$. Эти точки включаются в решение.
Нули знаменателя: $x=1/2, x=-4, x=3$. Эти точки исключаются из решения.
2. Приведем множитель $(3-x)$ к стандартному виду: $3-x = -(x-3)$.
Неравенство: $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(-(x-3))} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(x-3)} \ge 0$.
3. Отметим точки на числовой оси: $-4, -3, -2, -1, 1/2, 3$. Точки $-3, -2, -1$ закрашенные, остальные — выколотые.

Определим знаки выражения на интервалах (справа налево, знаки чередуются):
- $(3, +\infty)$: +
- $(1/2, 3)$: -
- $(-1, 1/2)$: +
- $(-2, -1)$: -
- $(-3, -2)$: +
- $(-4, -3)$: -
- $(-\infty, -4)$: +
4. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Это интервалы $(-\infty, -4)$, $[-3, -2]$, $[-1, 1/2)$ и $(3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [-3; -2] \cup [-1; 0.5) \cup (3; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{7-x}{(3x-2)(2x+1)(x-4)} < 0$.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $7-x=0 \implies x=7$.
Нули знаменателя: $3x-2=0 \implies x=2/3$; $2x+1=0 \implies x=-1/2$; $x-4=0 \implies x=4$.
Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
2. Приведем множитель $(7-x)$ к стандартному виду: $7-x = -(x-7)$.
Неравенство: $\frac{-(x-7)}{(3x-2)(2x+1)(x-4)} < 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x-7}{(3x-2)(2x+1)(x-4)} > 0$.
3. Отметим точки на числовой оси: $-1/2, 2/3, 4, 7$. Все точки выколотые.

Определим знаки выражения на интервалах (справа налево, знаки чередуются):
- $(7, +\infty)$: +
- $(4, 7)$: -
- $(2/3, 4)$: +
- $(-1/2, 2/3)$: -
- $(-\infty, -1/2)$: +
4. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.
Это интервалы $(-\infty, -1/2)$, $(2/3, 4)$ и $(7, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (2/3; 4) \cup (7; +\infty)$.