Номер 3.6, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.6 Верно ли, что:

а) $0,7 \in \{x \mid x^2 - 1 < 0\}$;

б) $-7 \in \{x \mid x^2 + 16x \leq -64\}$;

в) $-0,999 \in \{x \mid \frac{5 - x}{1 + x} > 1\}$;

г) $1,001 \in \{x \mid \frac{x^2 - 6x + 5}{4 - x} \leq 0\}$?

Чтобы проверить, верно ли утверждение $0,7 \in \{x | x^2 - 1 < 0\}$, необходимо подставить значение $x = 0,7$ в неравенство, определяющее множество: $x^2 - 1 < 0$.
Подставляем: $(0,7)^2 - 1 = 0,49 - 1 = -0,51$.
Получаем неравенство $-0,51 < 0$, которое является верным.
Следовательно, число $0,7$ принадлежит данному множеству.
Ответ: Да.

Чтобы проверить, верно ли утверждение $-7 \in \{x | x^2 + 16x \le -64\}$, подставим $x = -7$ в неравенство.
$(-7)^2 + 16(-7) = 49 - 112 = -63$.
Получаем неравенство $-63 \le -64$, которое является неверным, так как $-63 > -64$.
Следовательно, число $-7$ не принадлежит данному множеству.
Ответ: Нет.

Чтобы проверить, верно ли утверждение $-0,999 \in \{x | |\frac{5-x}{1+x}| > 1\}$, подставим $x = -0,999$ в неравенство.
$|\frac{5 - (-0,999)}{1 + (-0,999)}| = |\frac{5 + 0,999}{1 - 0,999}| = |\frac{5,999}{0,001}| = |5999| = 5999$.
Получаем неравенство $5999 > 1$, которое является верным.
Следовательно, число $-0,999$ принадлежит данному множеству.
Ответ: Да.

Чтобы проверить, верно ли утверждение $1,001 \in \{x | \frac{x^2 - 6x + 5}{4 - x} \le 0\}$, подставим $x = 1,001$ в левую часть неравенства и определим её знак.
1. Определим знак числителя: $x^2 - 6x + 5$. Корнями уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=5$. График функции $y=x^2 - 6x + 5$ — это парабола с ветвями вверх. Поскольку $1 < 1,001 < 5$, значение выражения $x^2 - 6x + 5$ на этом интервале отрицательно.
2. Определим знак знаменателя: $4 - x$. При $x = 1,001$ получаем $4 - 1,001 = 2,999$, что является положительным числом.
3. Определим знак всей дроби. При делении отрицательного числителя на положительный знаменатель результат будет отрицательным: $\frac{...(-)}{...(+)}$, что меньше нуля.
Таким образом, неравенство $\frac{x^2 - 6x + 5}{4 - x} \le 0$ при $x = 1,001$ выполняется.
Следовательно, число $1,001$ принадлежит данному множеству.
Ответ: Да.