Номер 3.7, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.7 a) Решите уравнение $x(x^2 + 19) + 6 = (2x + 3)(3x + 2) - x^2$.

б) Запишите множество $M$ корней этого уравнения, перечислив его элементы в порядке возрастания.

в) Запишите все возможные способы перечисления элементов множества $M$.

г) Сколько всего имеется способов перечисления элементов множества $M$?

а)

Решим данное уравнение: $x(x^2 + 19) + 6 = (2x + 3)(3x + 2) - x^2$.

Сначала преобразуем обе части уравнения, раскрыв скобки.

Левая часть:

$x(x^2 + 19) + 6 = x \cdot x^2 + x \cdot 19 + 6 = x^3 + 19x + 6$.

Правая часть:

$(2x + 3)(3x + 2) - x^2 = (2x \cdot 3x + 2x \cdot 2 + 3 \cdot 3x + 3 \cdot 2) - x^2 = (6x^2 + 4x + 9x + 6) - x^2 = 6x^2 + 13x + 6 - x^2 = 5x^2 + 13x + 6$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$x^3 + 19x + 6 = 5x^2 + 13x + 6$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^3 - 5x^2 + 19x - 13x + 6 - 6 = 0$

$x^3 - 5x^2 + 6x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$.

2) $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

$x_2 = 2$

$x_3 = 3$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0, 2, 3$.

б)

Множество $M$ корней этого уравнения состоит из найденных в пункте а) чисел. То есть, $M = \{0, 2, 3\}$. Необходимо перечислить его элементы в порядке возрастания.

Ответ: 0, 2, 3.

в)

Нужно записать все возможные способы перечисления (упорядочивания) элементов множества $M = \{0, 2, 3\}$. Это задача на нахождение всех перестановок из трех элементов.

Ответ: (0, 2, 3); (0, 3, 2); (2, 0, 3); (2, 3, 0); (3, 0, 2); (3, 2, 0).

г)

Количество способов перечисления элементов множества равно числу перестановок его элементов. Для множества из $n$ различных элементов число перестановок вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем множестве $M$ содержится 3 элемента ($n=3$).

Число способов равно $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6.