Страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.25 а) $ \begin{cases} \frac{3x - 4}{5 - x} \ge \frac{1}{2}, \\ x^2 \ge 16; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4x^2 \le 49, \\ \frac{2x + 5}{1 - 6x} > 1; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} \frac{x - 1}{3 - 2x} \ge \frac{1}{2}, \\ x^2 \le 25; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} \frac{4x - 1}{2x + 5} \ge \frac{3}{2}, \\ 4x^2 \ge 81. \end{cases} $

а)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} \frac{3x - 4}{5 - x} \ge \frac{1}{2}, \\ x^2 \ge 16 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $\frac{3x - 4}{5 - x} \ge \frac{1}{2}$.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x - 4}{5 - x} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(3x-4) - (5-x)}{2(5-x)} \ge 0 \implies \frac{6x-8-5+x}{10-2x} \ge 0 \implies \frac{7x-13}{5-x} \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x_1 = \frac{13}{7}$ (корень числителя, точка закрашенная) и $x_2 = 5$ (корень знаменателя, точка выколотая).
На числовой оси отмечаем точки и определяем знаки на интервалах. Получаем решение: $x \in [\frac{13}{7}, 5)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 \ge 16$.
Это неравенство равносильно $|x| \ge 4$, что дает решение $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

3. Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[\frac{13}{7}, 5) \cap ((-\infty, -4] \cup [4, \infty))$.
Поскольку $\frac{13}{7} \approx 1.86$, то пересечением является промежуток $[4, 5)$.

Ответ: $[4, 5)$.

б)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} 4x^2 \le 49, \\ \frac{2x+5}{1-6x} > 1 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $4x^2 \le 49$.
$x^2 \le \frac{49}{4} \implies |x| \le \frac{7}{2}$.
Решением является отрезок $x \in [-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}]$ или $x \in [-3.5, 3.5]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{2x+5}{1-6x} > 1$.
$\frac{2x+5}{1-6x} - 1 > 0 \implies \frac{2x+5 - (1-6x)}{1-6x} > 0 \implies \frac{8x+4}{1-6x} > 0$.
Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{6}$. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
На числовой оси получаем интервалы, решением является $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $[-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}] \cap (-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$.
Интервал $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$ полностью содержится в отрезке $[-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}]$, поэтому их пересечение равно $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$.

в)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} \frac{x-1}{3-2x} \ge \frac{1}{2}, \\ x^2 \le 25 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $\frac{x-1}{3-2x} \ge \frac{1}{2}$.
$\frac{x-1}{3-2x} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(x-1) - (3-2x)}{2(3-2x)} \ge 0 \implies \frac{2x-2-3+2x}{6-4x} \ge 0 \implies \frac{4x-5}{3-2x} \ge 0$.
Методом интервалов с корнями $x_1 = \frac{5}{4}$ (закрашенная) и $x_2 = \frac{3}{2}$ (выколотая) получаем решение $x \in [\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$.

2. Решим второе неравенство $x^2 \le 25$.
Оно эквивалентно $|x| \le 5$, что дает решение $x \in [-5, 5]$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $[\frac{5}{4}, \frac{3}{2}) \cap [-5, 5]$.
Так как $1.25 = \frac{5}{4}$ и $1.5 = \frac{3}{2}$, интервал $[\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$ полностью содержится в отрезке $[-5, 5]$.
Следовательно, пересечением является сам интервал $[\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $[\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$.

г)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} \frac{4x-1}{2x+5} \ge \frac{3}{2}, \\ 4x^2 \ge 81 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $\frac{4x-1}{2x+5} \ge \frac{3}{2}$.
$\frac{4x-1}{2x+5} - \frac{3}{2} \ge 0 \implies \frac{2(4x-1) - 3(2x+5)}{2(2x+5)} \ge 0 \implies \frac{8x-2-6x-15}{4x+10} \ge 0 \implies \frac{2x-17}{2x+5} \ge 0$.
Методом интервалов с корнями $x_1 = \frac{17}{2}$ (закрашенная) и $x_2 = -\frac{5}{2}$ (выколотая) получаем решение $x \in (-\infty, -\frac{5}{2}) \cup [\frac{17}{2}, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $4x^2 \ge 81$.
$x^2 \ge \frac{81}{4} \implies |x| \ge \frac{9}{2}$.
Решение: $x \in (-\infty, -\frac{9}{2}] \cup [\frac{9}{2}, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, -\frac{5}{2}) \cup [\frac{17}{2}, \infty)) \cap ((-\infty, -\frac{9}{2}] \cup [\frac{9}{2}, \infty))$.
Пересекаем соответствующие части:
- $(-\infty, -\frac{5}{2}) \cap (-\infty, -\frac{9}{2}] = (-\infty, -4.5]$, так как $-4.5 < -2.5$.- $[\frac{17}{2}, \infty) \cap [\frac{9}{2}, \infty) = [8.5, \infty)$, так как $8.5 > 4.5$.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $(-\infty, -\frac{9}{2}] \cup [\frac{17}{2}, \infty)$.

4.26 a) $\begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{2x} \ge 0, \\ x^2 - 7x + 12 \ge 0; \end{cases}$

Б) $\begin{cases} x^2 - 10x + 9 \le 0, \\ \frac{(x+3)(x-2)}{2x} \ge 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \le 0, \\ \frac{(x+2)(x+4)}{5x} \le 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 - 12x + 20 \le 0, \\ \frac{(x-3)(x+1)}{3x} \le 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{2x} \ge 0, \\ x^2 - 7x + 12 \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{(x+2)(x-1)}{2x} \ge 0$ методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Найдем нуль знаменателя: $2x=0 \Rightarrow x=0$.
Нанесем точки на числовую ось. Точки $x=-2$ и $x=1$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x \in (1, +\infty)$, выражение положительно.
- при $x \in (0, 1)$, выражение отрицательно.
- при $x \in (-2, 0)$, выражение положительно.
- при $x \in (-\infty, -2)$, выражение отрицательно.
Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю: $x \in [-2, 0) \cup [1, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 7x + 12 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Корни: $x_1=3$, $x_2=4$.
Графиком функции $y=x^2-7x+12$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, выражение неотрицательно при $x$ вне интервала между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$([-2, 0) \cup [1, +\infty)) \cap ((-\infty, 3] \cup [4, +\infty))$.
Пересечение дает итоговый результат: $x \in [-2, 0) \cup [1, 3] \cup [4, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-2, 0) \cup [1, 3] \cup [4, \infty)$.

б) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 10x + 9 \le 0, \\ \frac{(x+3)(x-2)}{2x} \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^2 - 10x + 9 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, $x_1=1$, $x_2=9$.
Парабола $y=x^2-10x+9$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неположительно на отрезке между корнями.
Решение неравенства: $x \in [1, 9]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{(x+3)(x-2)}{2x} \ge 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x=-3$, $x=2$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Точки $x=-3, x=2$ закрашенные, точка $x=0$ выколотая.
Определяем знаки на интервалах. Выражение неотрицательно при $x \in [-3, 0) \cup [2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений:
$[1, 9] \cap ([-3, 0) \cup [2, +\infty))$.
Пересечением является отрезок $[2, 9]$.
Ответ: $x \in [2, 9]$.

в) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 \le 0, \\ \frac{(x+2)(x+4)}{5x} \le 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^2 - 4x + 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1=1$, $x_2=3$.
Парабола $y=x^2-4x+3$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неположительно между корнями.
Решение неравенства: $x \in [1, 3]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{(x+2)(x+4)}{5x} \le 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x=-2$, $x=-4$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Точки $x=-4, x=-2$ закрашенные, точка $x=0$ выколотая.
Определяем знаки на интервалах. Выражение неположительно при $x \in (-\infty, -4] \cup [-2, 0)$.

3. Найдем пересечение решений:
$[1, 3] \cap ((-\infty, -4] \cup [-2, 0))$.
Множества не пересекаются.
Ответ: Нет решений.

г) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 12x + 20 \le 0, \\ \frac{(x-3)(x+1)}{3x} \le 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^2 - 12x + 20 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 20 = 0$. По теореме Виета, $x_1=2$, $x_2=10$.
Парабола $y=x^2-12x+20$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неположительно между корнями.
Решение неравенства: $x \in [2, 10]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{(x-3)(x+1)}{3x} \le 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x=3$, $x=-1$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Точки $x=3, x=-1$ закрашенные, точка $x=0$ выколотая.
Определяем знаки на интервалах. Выражение неположительно при $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 3]$.

3. Найдем пересечение решений:
$[2, 10] \cap ((-\infty, -1] \cup (0, 3])$.
Пересечением является отрезок $[2, 3]$.
Ответ: $x \in [2, 3]$.

4.27 a) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} > 2, \\ x + \frac{8}{x} \le 6; \end{array} \right.$

Б) $\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{3}{x} \le -4, \\ \frac{x - 4}{x - 3} > \frac{x - 3}{x - 4}; \end{array} \right.$

В) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{2x + 3} \le 0, \\ \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 3} > \frac{3}{x + 2}; \end{array} \right.$

Г) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3 + x^2 + x}{9x^2 - 25} \ge 0, \\ \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} \le \frac{1 - 2x}{x^2 - 1}. \end{array} \right.$

a)

Решим систему из двух неравенств:

1) $\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} > 2$

2) $x + \frac{8}{x} \le 6$

Решим первое неравенство:

$\frac{2x^2 + 18x - 4}{x^2 + 9x + 8} - 2 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x^2 + 18x - 4 - 2(x^2 + 9x + 8)}{x^2 + 9x + 8} > 0$

$\frac{2x^2 + 18x - 4 - 2x^2 - 18x - 16}{x^2 + 9x + 8} > 0$

$\frac{-20}{x^2 + 9x + 8} > 0$

Так как числитель -20 отрицательный, для выполнения неравенства знаменатель должен быть также отрицательным:

$x^2 + 9x + 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 + 9x + 8$ ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-8, -1)$.

Решим второе неравенство:

$x + \frac{8}{x} \le 6$

$x + \frac{8}{x} - 6 \le 0$

Приведем к общему знаменателю, ОДЗ: $x \ne 0$.

$\frac{x^2 - 6x + 8}{x} \le 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Используем метод интервалов для выражения $\frac{(x-2)(x-4)}{x} \le 0$.

Критические точки: 0, 2, 4.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2]$, $[2, 4]$, $[4, +\infty)$, получаем:

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

Найдем пересечение решений:

Решение 1: $x \in (-8, -1)$

Решение 2: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, 4]$

Пересечением этих множеств является интервал $(-8, -1)$.

Ответ: $x \in (-8, -1)$.

б)

Решим систему из двух неравенств:

1) $x + \frac{3}{x} \le -4$

2) $\frac{x-4}{x-3} > \frac{x-3}{x-4}$

Решим первое неравенство:

$x + \frac{3}{x} + 4 \le 0$

Приведем к общему знаменателю, ОДЗ: $x \ne 0$.

$\frac{x^2 + 4x + 3}{x} \le 0$

Найдем корни числителя $x^2 + 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Используем метод интервалов для выражения $\frac{(x+3)(x+1)}{x} \le 0$.

Критические точки: -3, -1, 0.

Проверяя знаки на интервалах, получаем:

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{x-4}{x-3} - \frac{x-3}{x-4} > 0$

ОДЗ: $x \ne 3, x \ne 4$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-4)^2 - (x-3)^2}{(x-3)(x-4)} > 0$

Используем формулу разности квадратов в числителе:

$\frac{((x-4) - (x-3))((x-4) + (x-3))}{(x-3)(x-4)} > 0$

$\frac{(-1)(2x-7)}{(x-3)(x-4)} > 0$

$\frac{2x-7}{(x-3)(x-4)} < 0$

Критические точки: 3, 3.5, 4.

Методом интервалов находим решение:

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3) \cup (3.5, 4)$.

Найдем пересечение решений:

Решение 1: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0)$

Решение 2: $x \in (-\infty, 3) \cup (3.5, 4)$

Пересечение $(-\infty, -3] \cup [-1, 0)$ и $(-\infty, 3)$ дает $(-\infty, -3] \cup [-1, 0)$.

Интервал $(3.5, 4)$ не пересекается с решением первого неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0)$.

в)

Решим систему из двух неравенств:

1) $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{2x + 3} \le 0$

2) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2}$

Решим первое неравенство:

Разложим числитель на множители: $x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x-1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1)$.

Выражение $x^2+1$ всегда положительно. Неравенство равносильно:

$\frac{x-1}{2x+3} \le 0$

ОДЗ: $x \ne -1.5$.

Критические точки: -1.5, 1.

Методом интервалов получаем, что неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, то есть между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-1.5, 1]$.

Решим второе неравенство:

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0$

ОДЗ: $x \ne -1, x \ne -2, x \ne -3$.

Приведем к общему знаменателю $(x+1)(x+2)(x+3)$:

$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+2) - 3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$

$\frac{(x^2+5x+6) + (2x^2+6x+4) - (3x^2+12x+9)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$

$\frac{x^2+5x+6 + 2x^2+6x+4 - 3x^2-12x-9}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$

$\frac{-x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0$

$\frac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)} < 0$

Критические точки: -3, -2, -1, 1.

Методом интервалов получаем:

Решение второго неравенства: $x \in (-3, -2) \cup (-1, 1)$.

Найдем пересечение решений:

Решение 1: $x \in (-1.5, 1]$

Решение 2: $x \in (-3, -2) \cup (-1, 1)$

Пересекая $(-1.5, 1]$ с $(-3, -2)$, получаем пустое множество. Пересекая $(-1.5, 1]$ с $(-1, 1)$, получаем $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

г)

Решим систему из двух неравенств:

1) $\frac{x^3 + x^2 + x}{9x^2 - 25} \ge 0$

2) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \le \frac{1-2x}{x^2-1}$

Решим первое неравенство:

Разложим на множители числитель и знаменатель:

$\frac{x(x^2+x+1)}{(3x-5)(3x+5)} \ge 0$

Выражение $x^2+x+1$ всегда положительно (дискриминант $D = 1-4 = -3 < 0$).

Неравенство равносильно:

$\frac{x}{(3x-5)(3x+5)} \ge 0$

Критические точки: $x=0$, $x=5/3$, $x=-5/3$.

Методом интервалов получаем:

Решение первого неравенства: $x \in (-5/3, 0] \cup (5/3, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} - \frac{1-2x}{x^2-1} \le 0$

ОДЗ: $x \ne \pm 1$. Знаменатель $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

$\frac{x-1 + 2(x+1) - (1-2x)}{(x-1)(x+1)} \le 0$

$\frac{x-1+2x+2-1+2x}{(x-1)(x+1)} \le 0$

$\frac{5x}{(x-1)(x+1)} \le 0$

Критические точки: -1, 0, 1.

Методом интервалов получаем:

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$.

Найдем пересечение решений:

Решение 1: $x \in (-5/3, 0] \cup (5/3, +\infty)$

Решение 2: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$

Пересекаем $(-5/3, 0]$ с $(-\infty, -1) \cup [0, 1)$:

1) $(-5/3, 0] \cap (-\infty, -1) = (-5/3, -1)$

2) $(-5/3, 0] \cap [0, 1) = \{0\}$

Пересекаем $(5/3, +\infty)$ с $(-\infty, -1) \cup [0, 1)$:

3) $(5/3, +\infty) \cap ((-\infty, -1) \cup [0, 1)) = \emptyset$

Объединяем полученные результаты: $(-5/3, -1) \cup \{0\}$.

Ответ: $x \in (-5/3, -1) \cup \{0\}$.

Найдите область определения выражения:

4.28 a) $\sqrt{(x-3)(x-5)} + \sqrt{(1-x)(7-x)};$

б) $\sqrt{\frac{3x+2}{5-x}} + \sqrt{\frac{4-x}{7-2x}};$

в) $\sqrt{(x-2)(x-3)} + \sqrt{(5-x)(6-x)};$

г) $\sqrt{\frac{4x+1}{x+2}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x-7}}.$

а)

Область определения выражения — это множество всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл. Для данного выражения, состоящего из суммы двух квадратных корней, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} (x-3)(x-5) \ge 0 \\ (1-x)(7-x) \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $(x-3)(x-5) \ge 0$.
Корнями уравнения $(x-3)(x-5) = 0$ являются $x_1=3$ и $x_2=5$. Графиком функции $y=(x-3)(x-5)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(1-x)(7-x) \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $(x-1)(x-7) \ge 0$. Корнями уравнения $(x-1)(x-7) = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=7$. Графиком функции $y=(x-1)(x-7)$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств, чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно.
$((-\infty, 3] \cup [5, \infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup [7, \infty))$.
Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

б)

Область определения выражения определяется системой неравенств, в которой каждое подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$\begin{cases} \frac{3x+2}{5-x} \ge 0 \\ \frac{4-x}{7-2x} \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{3x+2}{5-x} \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
$3x+2=0 \Rightarrow x = -2/3$.
$5-x=0 \Rightarrow x=5$.
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки дроби на интервалах $(-\infty, -2/3]$, $(-2/3, 5)$ и $[5, \infty)$. Неравенство выполняется на интервале, где дробь положительна или равна нулю. Точка $x=5$ исключается, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Решение: $x \in [-2/3, 5)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{4-x}{7-2x} \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $\frac{x-4}{2x-7} \ge 0$. Используем метод интервалов.
$x-4=0 \Rightarrow x=4$.
$2x-7=0 \Rightarrow x=7/2 = 3.5$.
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки. Неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель одного знака. Точка $x=7/2$ исключается.
Решение: $x \in (-\infty, 7/2) \cup [4, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-2/3, 5) \cap ((-\infty, 7/2) \cup [4, \infty))$.
Пересечение первого интервала с $(-\infty, 7/2)$ дает $[-2/3, 7/2)$.
Пересечение первого интервала с $[4, \infty)$ дает $[4, 5)$.
Объединяя эти результаты, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in [-2/3, 7/2) \cup [4, 5)$.

в)

Для нахождения области определения выражения необходимо решить систему неравенств, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} (x-2)(x-3) \ge 0 \\ (5-x)(6-x) \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $(x-2)(x-3) \ge 0$.
Корни уравнения $(x-2)(x-3) = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Парабола $y=(x-2)(x-3)$ имеет ветви вверх, поэтому она неотрицательна при значениях $x$ за пределами интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(5-x)(6-x) \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $(x-5)(x-6) \ge 0$. Корни уравнения $(x-5)(x-6) = 0$ равны $x_1=5$ и $x_2=6$. Парабола $y=(x-5)(x-6)$ также имеет ветви вверх.
Решение: $x \in (-\infty, 5] \cup [6, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, 2] \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, 5] \cup [6, \infty))$.
Пересечение $(-\infty, 2]$ с $(-\infty, 5]$ дает $(-\infty, 2]$.
Пересечение $[3, \infty)$ с $(-\infty, 5]$ дает $[3, 5]$.
Пересечение $[3, \infty)$ с $[6, \infty)$ дает $[6, \infty)$.
Объединяя все части, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, 5] \cup [6, \infty)$.

г)

Область определения выражения находится из системы неравенств, где подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатели не равны нулю.

$\begin{cases} \frac{4x+1}{x+2} \ge 0 \\ \frac{2x+1}{x-7} \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{4x+1}{x+2} \ge 0$.
Метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$4x+1=0 \Rightarrow x = -1/4$.
$x+2=0 \Rightarrow x=-2$.
Точки $-2$ и $-1/4$ делят числовую ось на три интервала. Анализ знаков показывает, что дробь неотрицательна при $x \in (-\infty, -2) \cup [-1/4, \infty)$. Точка $x=-2$ исключена.

2. Решим второе неравенство: $\frac{2x+1}{x-7} \ge 0$.
Метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$2x+1=0 \Rightarrow x=-1/2$.
$x-7=0 \Rightarrow x=7$.
Точки $-1/2$ и $7$ делят числовую ось. Анализ знаков показывает, что дробь неотрицательна при $x \in (-\infty, -1/2] \cup (7, \infty)$. Точка $x=7$ исключена.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2) \cup [-1/4, \infty)) \cap ((-\infty, -1/2] \cup (7, \infty))$.
Пересечение $(-\infty, -2)$ с $(-\infty, -1/2]$ дает $(-\infty, -2)$.
Пересечение $[-1/4, \infty)$ с $(-\infty, -1/2]$ пусто, так как $-1/4 > -1/2$.
Пересечение $[-1/4, \infty)$ с $(7, \infty)$ дает $(7, \infty)$.
Объединение полученных множеств дает окончательный результат.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$.

4.29 а) $\sqrt{x^2 - 16} + \sqrt{7x - x^2}$;

б) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{9 - x^2}$;

в) $\sqrt{x^2 - 5x + 6} + \sqrt{x^2 - 1}$;

г) $\sqrt{x^2 + 8x + 7} + \sqrt{25 - x^2}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 16} + \sqrt{7x - x^2}$ задается системой неравенств, так как выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$$ \begin{cases} x^2 - 16 \ge 0 \\ 7x - x^2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 16 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-4)(x+4) \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $7x - x^2 \ge 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(7-x) \ge 0$. Корни уравнения $x(7-x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Это парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [0, 7]$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$ и $[0, 7]$.

На числовой оси видно, что общим решением является промежуток $[4, 7]$.

Ответ: $x \in [4, 7]$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{9 - x^2}$ задается системой неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 \ge 0 \\ 9 - x^2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Неравенство можно записать в виде $(x-1)(x-2) \ge 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \le 9$, что означает $-3 \le x \le 3$, или $x \in [-3, 3]$.

3. Найдем пересечение множеств $((-\infty, 1] \cup [2, \infty)) \cap [-3, 3]$.

Пересекая $(-\infty, 1]$ с $[-3, 3]$, получаем $[-3, 1]$.

Пересекая $[2, \infty)$ с $[-3, 3]$, получаем $[2, 3]$.

Объединяя эти два промежутка, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-3, 1] \cup [2, 3]$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x + 6} + \sqrt{x^2 - 1}$ задается системой неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Неравенство можно записать как $(x-2)(x-3) \ge 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 1 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \ge 1$, что означает $x \le -1$ или $x \ge 1$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

3. Найдем пересечение множеств $((-\infty, 2] \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$.

Пересечение $(-\infty, 2]$ с $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ дает $(-\infty, -1] \cup [1, 2]$.

Пересечение $[3, \infty)$ с $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ дает $[3, \infty)$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, \infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 8x + 7} + \sqrt{25 - x^2}$ задается системой неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + 8x + 7 \ge 0 \\ 25 - x^2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 8x + 7 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Неравенство можно записать как $(x+7)(x+1) \ge 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $25 - x^2 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \le 25$, что означает $-5 \le x \le 5$, или $x \in [-5, 5]$.

3. Найдем пересечение множеств $((-\infty, -7] \cup [-1, \infty)) \cap [-5, 5]$.

Пересечение $(-\infty, -7]$ с $[-5, 5]$ является пустым множеством.

Пересечение $[-1, \infty)$ с $[-5, 5]$ дает отрезок $[-1, 5]$.

Таким образом, область определения функции — это полученный отрезок.

Ответ: $x \in [-1, 5]$.