Номер 4.25, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.25 а) $ \begin{cases} \frac{3x - 4}{5 - x} \ge \frac{1}{2}, \\ x^2 \ge 16; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4x^2 \le 49, \\ \frac{2x + 5}{1 - 6x} > 1; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} \frac{x - 1}{3 - 2x} \ge \frac{1}{2}, \\ x^2 \le 25; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} \frac{4x - 1}{2x + 5} \ge \frac{3}{2}, \\ 4x^2 \ge 81. \end{cases} $

а)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} \frac{3x - 4}{5 - x} \ge \frac{1}{2}, \\ x^2 \ge 16 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $\frac{3x - 4}{5 - x} \ge \frac{1}{2}$.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x - 4}{5 - x} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(3x-4) - (5-x)}{2(5-x)} \ge 0 \implies \frac{6x-8-5+x}{10-2x} \ge 0 \implies \frac{7x-13}{5-x} \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x_1 = \frac{13}{7}$ (корень числителя, точка закрашенная) и $x_2 = 5$ (корень знаменателя, точка выколотая).
На числовой оси отмечаем точки и определяем знаки на интервалах. Получаем решение: $x \in [\frac{13}{7}, 5)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 \ge 16$.
Это неравенство равносильно $|x| \ge 4$, что дает решение $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

3. Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[\frac{13}{7}, 5) \cap ((-\infty, -4] \cup [4, \infty))$.
Поскольку $\frac{13}{7} \approx 1.86$, то пересечением является промежуток $[4, 5)$.

Ответ: $[4, 5)$.

б)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} 4x^2 \le 49, \\ \frac{2x+5}{1-6x} > 1 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $4x^2 \le 49$.
$x^2 \le \frac{49}{4} \implies |x| \le \frac{7}{2}$.
Решением является отрезок $x \in [-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}]$ или $x \in [-3.5, 3.5]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{2x+5}{1-6x} > 1$.
$\frac{2x+5}{1-6x} - 1 > 0 \implies \frac{2x+5 - (1-6x)}{1-6x} > 0 \implies \frac{8x+4}{1-6x} > 0$.
Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{6}$. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
На числовой оси получаем интервалы, решением является $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $[-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}] \cap (-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$.
Интервал $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$ полностью содержится в отрезке $[-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}]$, поэтому их пересечение равно $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$.

в)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} \frac{x-1}{3-2x} \ge \frac{1}{2}, \\ x^2 \le 25 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $\frac{x-1}{3-2x} \ge \frac{1}{2}$.
$\frac{x-1}{3-2x} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(x-1) - (3-2x)}{2(3-2x)} \ge 0 \implies \frac{2x-2-3+2x}{6-4x} \ge 0 \implies \frac{4x-5}{3-2x} \ge 0$.
Методом интервалов с корнями $x_1 = \frac{5}{4}$ (закрашенная) и $x_2 = \frac{3}{2}$ (выколотая) получаем решение $x \in [\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$.

2. Решим второе неравенство $x^2 \le 25$.
Оно эквивалентно $|x| \le 5$, что дает решение $x \in [-5, 5]$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $[\frac{5}{4}, \frac{3}{2}) \cap [-5, 5]$.
Так как $1.25 = \frac{5}{4}$ и $1.5 = \frac{3}{2}$, интервал $[\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$ полностью содержится в отрезке $[-5, 5]$.
Следовательно, пересечением является сам интервал $[\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $[\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$.

г)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} \frac{4x-1}{2x+5} \ge \frac{3}{2}, \\ 4x^2 \ge 81 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $\frac{4x-1}{2x+5} \ge \frac{3}{2}$.
$\frac{4x-1}{2x+5} - \frac{3}{2} \ge 0 \implies \frac{2(4x-1) - 3(2x+5)}{2(2x+5)} \ge 0 \implies \frac{8x-2-6x-15}{4x+10} \ge 0 \implies \frac{2x-17}{2x+5} \ge 0$.
Методом интервалов с корнями $x_1 = \frac{17}{2}$ (закрашенная) и $x_2 = -\frac{5}{2}$ (выколотая) получаем решение $x \in (-\infty, -\frac{5}{2}) \cup [\frac{17}{2}, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $4x^2 \ge 81$.
$x^2 \ge \frac{81}{4} \implies |x| \ge \frac{9}{2}$.
Решение: $x \in (-\infty, -\frac{9}{2}] \cup [\frac{9}{2}, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, -\frac{5}{2}) \cup [\frac{17}{2}, \infty)) \cap ((-\infty, -\frac{9}{2}] \cup [\frac{9}{2}, \infty))$.
Пересекаем соответствующие части:
- $(-\infty, -\frac{5}{2}) \cap (-\infty, -\frac{9}{2}] = (-\infty, -4.5]$, так как $-4.5 < -2.5$.- $[\frac{17}{2}, \infty) \cap [\frac{9}{2}, \infty) = [8.5, \infty)$, так как $8.5 > 4.5$.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $(-\infty, -\frac{9}{2}] \cup [\frac{17}{2}, \infty)$.