Номер 4.31, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.31 Найдите середину промежутка, служащего решением системы неравенств:

а) $\begin{cases} \frac{3x - 13}{4} \le \frac{x - 1}{4} - \frac{7}{8} \\ 2 \ge \frac{x}{4} + \frac{3 - 2x}{3} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{3}{5} + \frac{3x - 1}{10} \ge \frac{2 - x}{5} - 0,3 \\ 1 \ge \frac{x - 1}{3} + 0,5(x + 3) \end{cases}$

a)

Для нахождения решения системы неравенств, решим каждое неравенство по отдельности.

$ \begin{cases} \frac{3x - 13}{4} \le \frac{x - 1}{4} - \frac{7}{8} \\ 2 \ge \frac{x}{4} + \frac{3 - 2x}{3} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство. Умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$8 \cdot \frac{3x - 13}{4} \le 8 \cdot \frac{x - 1}{4} - 8 \cdot \frac{7}{8}$

$2(3x - 13) \le 2(x - 1) - 7$

Раскроем скобки:

$6x - 26 \le 2x - 2 - 7$

$6x - 26 \le 2x - 9$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$6x - 2x \le -9 + 26$

$4x \le 17$

$x \le \frac{17}{4}$

$x \le 4,25$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, который равен 12:

$12 \cdot 2 \ge 12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot \frac{3 - 2x}{3}$

$24 \ge 3x + 4(3 - 2x)$

Раскроем скобки:

$24 \ge 3x + 12 - 8x$

$24 \ge 12 - 5x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$5x \ge 12 - 24$

$5x \ge -12$

$x \ge -\frac{12}{5}$

$x \ge -2,4$

3. Решением системы является пересечение полученных промежутков: $x \le 4,25$ и $x \ge -2,4$. Таким образом, решение системы — это промежуток $[-2,4; 4,25]$.

4. Найдем середину этого промежутка. Середина отрезка $[a; b]$ находится по формуле $\frac{a+b}{2}$.

Середина = $\frac{-2,4 + 4,25}{2} = \frac{1,85}{2} = 0,925$.

Ответ: $0,925$

б)

Для нахождения решения системы неравенств, решим каждое неравенство по отдельности.

$ \begin{cases} \frac{3}{5} + \frac{3x - 1}{10} \ge \frac{2 - x}{5} - 0,3 \\ 1 \ge \frac{x - 1}{3} + 0,5(x + 3) \end{cases} $

1. Решим первое неравенство. Представим $0,3$ в виде дроби $\frac{3}{10}$ и умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 10:

$\frac{3}{5} + \frac{3x - 1}{10} \ge \frac{2 - x}{5} - \frac{3}{10}$

$10 \cdot \frac{3}{5} + 10 \cdot \frac{3x - 1}{10} \ge 10 \cdot \frac{2 - x}{5} - 10 \cdot \frac{3}{10}$

$2 \cdot 3 + (3x - 1) \ge 2(2 - x) - 3$

Раскроем скобки:

$6 + 3x - 1 \ge 4 - 2x - 3$

$3x + 5 \ge 1 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$3x + 2x \ge 1 - 5$

$5x \ge -4$

$x \ge -\frac{4}{5}$

$x \ge -0,8$

2. Решим второе неравенство. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$ и умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$1 \ge \frac{x - 1}{3} + \frac{1}{2}(x + 3)$

$1 \ge \frac{x-1}{3} + \frac{x+3}{2}$

$6 \cdot 1 \ge 6 \cdot \frac{x - 1}{3} + 6 \cdot \frac{x + 3}{2}$

$6 \ge 2(x - 1) + 3(x + 3)$

Раскроем скобки:

$6 \ge 2x - 2 + 3x + 9$

$6 \ge 5x + 7$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$6 - 7 \ge 5x$

$-1 \ge 5x$

$-\frac{1}{5} \ge x$ или $x \le -0,2$

3. Решением системы является пересечение полученных промежутков: $x \ge -0,8$ и $x \le -0,2$. Таким образом, решение системы — это промежуток $[-0,8; -0,2]$.

4. Найдем середину этого промежутка.

Середина = $\frac{-0,8 + (-0,2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$.

Ответ: $-0,5$