Номер 4.26, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.26 a) $\begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{2x} \ge 0, \\ x^2 - 7x + 12 \ge 0; \end{cases}$

Б) $\begin{cases} x^2 - 10x + 9 \le 0, \\ \frac{(x+3)(x-2)}{2x} \ge 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \le 0, \\ \frac{(x+2)(x+4)}{5x} \le 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 - 12x + 20 \le 0, \\ \frac{(x-3)(x+1)}{3x} \le 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{2x} \ge 0, \\ x^2 - 7x + 12 \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{(x+2)(x-1)}{2x} \ge 0$ методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Найдем нуль знаменателя: $2x=0 \Rightarrow x=0$.
Нанесем точки на числовую ось. Точки $x=-2$ и $x=1$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x \in (1, +\infty)$, выражение положительно.
- при $x \in (0, 1)$, выражение отрицательно.
- при $x \in (-2, 0)$, выражение положительно.
- при $x \in (-\infty, -2)$, выражение отрицательно.
Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю: $x \in [-2, 0) \cup [1, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 7x + 12 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Корни: $x_1=3$, $x_2=4$.
Графиком функции $y=x^2-7x+12$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, выражение неотрицательно при $x$ вне интервала между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$([-2, 0) \cup [1, +\infty)) \cap ((-\infty, 3] \cup [4, +\infty))$.
Пересечение дает итоговый результат: $x \in [-2, 0) \cup [1, 3] \cup [4, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-2, 0) \cup [1, 3] \cup [4, \infty)$.

б) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 10x + 9 \le 0, \\ \frac{(x+3)(x-2)}{2x} \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^2 - 10x + 9 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, $x_1=1$, $x_2=9$.
Парабола $y=x^2-10x+9$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неположительно на отрезке между корнями.
Решение неравенства: $x \in [1, 9]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{(x+3)(x-2)}{2x} \ge 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x=-3$, $x=2$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Точки $x=-3, x=2$ закрашенные, точка $x=0$ выколотая.
Определяем знаки на интервалах. Выражение неотрицательно при $x \in [-3, 0) \cup [2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений:
$[1, 9] \cap ([-3, 0) \cup [2, +\infty))$.
Пересечением является отрезок $[2, 9]$.
Ответ: $x \in [2, 9]$.

в) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 \le 0, \\ \frac{(x+2)(x+4)}{5x} \le 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^2 - 4x + 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1=1$, $x_2=3$.
Парабола $y=x^2-4x+3$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неположительно между корнями.
Решение неравенства: $x \in [1, 3]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{(x+2)(x+4)}{5x} \le 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x=-2$, $x=-4$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Точки $x=-4, x=-2$ закрашенные, точка $x=0$ выколотая.
Определяем знаки на интервалах. Выражение неположительно при $x \in (-\infty, -4] \cup [-2, 0)$.

3. Найдем пересечение решений:
$[1, 3] \cap ((-\infty, -4] \cup [-2, 0))$.
Множества не пересекаются.
Ответ: Нет решений.

г) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 12x + 20 \le 0, \\ \frac{(x-3)(x+1)}{3x} \le 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^2 - 12x + 20 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 20 = 0$. По теореме Виета, $x_1=2$, $x_2=10$.
Парабола $y=x^2-12x+20$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неположительно между корнями.
Решение неравенства: $x \in [2, 10]$.

2. Решим второе неравенство $\frac{(x-3)(x+1)}{3x} \le 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x=3$, $x=-1$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Точки $x=3, x=-1$ закрашенные, точка $x=0$ выколотая.
Определяем знаки на интервалах. Выражение неположительно при $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 3]$.

3. Найдем пересечение решений:
$[2, 10] \cap ((-\infty, -1] \cup (0, 3])$.
Пересечением является отрезок $[2, 3]$.
Ответ: $x \in [2, 3]$.