Номер 4.28, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область определения выражения:

4.28 a) $\sqrt{(x-3)(x-5)} + \sqrt{(1-x)(7-x)};$

б) $\sqrt{\frac{3x+2}{5-x}} + \sqrt{\frac{4-x}{7-2x}};$

в) $\sqrt{(x-2)(x-3)} + \sqrt{(5-x)(6-x)};$

г) $\sqrt{\frac{4x+1}{x+2}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x-7}}.$

а)

Область определения выражения — это множество всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл. Для данного выражения, состоящего из суммы двух квадратных корней, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} (x-3)(x-5) \ge 0 \\ (1-x)(7-x) \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $(x-3)(x-5) \ge 0$.
Корнями уравнения $(x-3)(x-5) = 0$ являются $x_1=3$ и $x_2=5$. Графиком функции $y=(x-3)(x-5)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(1-x)(7-x) \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $(x-1)(x-7) \ge 0$. Корнями уравнения $(x-1)(x-7) = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=7$. Графиком функции $y=(x-1)(x-7)$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств, чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно.
$((-\infty, 3] \cup [5, \infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup [7, \infty))$.
Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

б)

Область определения выражения определяется системой неравенств, в которой каждое подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$\begin{cases} \frac{3x+2}{5-x} \ge 0 \\ \frac{4-x}{7-2x} \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{3x+2}{5-x} \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
$3x+2=0 \Rightarrow x = -2/3$.
$5-x=0 \Rightarrow x=5$.
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки дроби на интервалах $(-\infty, -2/3]$, $(-2/3, 5)$ и $[5, \infty)$. Неравенство выполняется на интервале, где дробь положительна или равна нулю. Точка $x=5$ исключается, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Решение: $x \in [-2/3, 5)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{4-x}{7-2x} \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $\frac{x-4}{2x-7} \ge 0$. Используем метод интервалов.
$x-4=0 \Rightarrow x=4$.
$2x-7=0 \Rightarrow x=7/2 = 3.5$.
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки. Неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель одного знака. Точка $x=7/2$ исключается.
Решение: $x \in (-\infty, 7/2) \cup [4, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-2/3, 5) \cap ((-\infty, 7/2) \cup [4, \infty))$.
Пересечение первого интервала с $(-\infty, 7/2)$ дает $[-2/3, 7/2)$.
Пересечение первого интервала с $[4, \infty)$ дает $[4, 5)$.
Объединяя эти результаты, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in [-2/3, 7/2) \cup [4, 5)$.

в)

Для нахождения области определения выражения необходимо решить систему неравенств, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} (x-2)(x-3) \ge 0 \\ (5-x)(6-x) \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $(x-2)(x-3) \ge 0$.
Корни уравнения $(x-2)(x-3) = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Парабола $y=(x-2)(x-3)$ имеет ветви вверх, поэтому она неотрицательна при значениях $x$ за пределами интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(5-x)(6-x) \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $(x-5)(x-6) \ge 0$. Корни уравнения $(x-5)(x-6) = 0$ равны $x_1=5$ и $x_2=6$. Парабола $y=(x-5)(x-6)$ также имеет ветви вверх.
Решение: $x \in (-\infty, 5] \cup [6, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, 2] \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, 5] \cup [6, \infty))$.
Пересечение $(-\infty, 2]$ с $(-\infty, 5]$ дает $(-\infty, 2]$.
Пересечение $[3, \infty)$ с $(-\infty, 5]$ дает $[3, 5]$.
Пересечение $[3, \infty)$ с $[6, \infty)$ дает $[6, \infty)$.
Объединяя все части, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, 5] \cup [6, \infty)$.

г)

Область определения выражения находится из системы неравенств, где подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатели не равны нулю.

$\begin{cases} \frac{4x+1}{x+2} \ge 0 \\ \frac{2x+1}{x-7} \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{4x+1}{x+2} \ge 0$.
Метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$4x+1=0 \Rightarrow x = -1/4$.
$x+2=0 \Rightarrow x=-2$.
Точки $-2$ и $-1/4$ делят числовую ось на три интервала. Анализ знаков показывает, что дробь неотрицательна при $x \in (-\infty, -2) \cup [-1/4, \infty)$. Точка $x=-2$ исключена.

2. Решим второе неравенство: $\frac{2x+1}{x-7} \ge 0$.
Метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$2x+1=0 \Rightarrow x=-1/2$.
$x-7=0 \Rightarrow x=7$.
Точки $-1/2$ и $7$ делят числовую ось. Анализ знаков показывает, что дробь неотрицательна при $x \in (-\infty, -1/2] \cup (7, \infty)$. Точка $x=7$ исключена.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2) \cup [-1/4, \infty)) \cap ((-\infty, -1/2] \cup (7, \infty))$.
Пересечение $(-\infty, -2)$ с $(-\infty, -1/2]$ дает $(-\infty, -2)$.
Пересечение $[-1/4, \infty)$ с $(-\infty, -1/2]$ пусто, так как $-1/4 > -1/2$.
Пересечение $[-1/4, \infty)$ с $(7, \infty)$ дает $(7, \infty)$.
Объединение полученных множеств дает окончательный результат.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$.