Номер 4.30, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.30 a) $\sqrt{(2x - 5)(x + 4)};$

б) $\sqrt{2x - 5} \cdot \sqrt{x + 4};$

В) $\sqrt{\frac{3x + 2}{x - 5}};$

Г) $\frac{\sqrt{3x + 2}}{\sqrt{x - 5}}.$

а) Найдем область определения выражения $\sqrt{(2x-5)(x+4)}$. По определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(2x-5)(x+4) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x-5)(x+4) = 0$.

Корни находятся из условий $2x - 5 = 0$ и $x + 4 = 0$, откуда $x_1 = 2.5$ и $x_2 = -4$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4]$, $[-4, 2.5]$ и $[2.5, +\infty)$. График функции $y = (2x-5)(x+4)$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение неотрицательно на крайних интервалах, то есть при $x \le -4$ и при $x \ge 2.5$.

Таким образом, область определения выражения — это объединение этих промежутков.

Ответ: $(-\infty, -4] \cup [2.5, +\infty)$.

б) Найдем область определения выражения $\sqrt{2x-5} \cdot \sqrt{x+4}$. Выражение является произведением двух квадратных корней. Для того чтобы оно имело смысл, должны быть определены оба множителя. Это означает, что подкоренные выражения каждого из корней должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

$2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$

$x \ge -4$

Областью определения является пересечение решений этих неравенств. Необходимо, чтобы $x$ был одновременно больше или равен $2.5$ и больше или равен $-4$. Наиболее строгим из этих условий является $x \ge 2.5$.

Ответ: $[2.5, +\infty)$.

в) Найдем область определения выражения $\sqrt{\frac{3x+2}{x-5}}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{3x+2}{x-5} \ge 0$

Решим данное дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3x + 2 = 0 \implies x = -2/3$. Эта точка входит в решение, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Эта точка исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Нанесем точки $-2/3$ и $5$ на числовую ось и определим знаки дроби на полученных интервалах. На интервале $(5, +\infty)$ (например, при $x=6$) дробь $\frac{+}{+}$ положительна. На интервале $(-2/3, 5)$ (например, при $x=0$) дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна. На интервале $(-\infty, -2/3]$ (например, при $x=-1$) дробь $\frac{-}{-}$ положительна.

Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно.

Ответ: $(-\infty, -2/3] \cup (5, +\infty)$.

г) Найдем область определения выражения $\frac{\sqrt{3x+2}}{\sqrt{x-5}}$. Выражение представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят квадратные корни. Для определения выражения должны выполняться следующие условия: подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение в знаменателе — строго положительным (поскольку корень находится в знаменателе и деление на ноль недопустимо).

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x + 2 \ge 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

$3x \ge -2 \implies x \ge -2/3$

$x > 5$

Областью определения является пересечение решений этих неравенств. Необходимо, чтобы $x$ был одновременно больше или равен $-2/3$ и строго больше $5$. Совместным решением является $x > 5$.

Ответ: $(5, +\infty)$.