Номер 4.20, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.20 Найдите область определения выражения:

а) $\sqrt{12 - 3x} + \sqrt{x + 2}$;

б) $\sqrt{15 - 3x} + \sqrt{4 + x}$;

в) $\sqrt{15x - 30} + \sqrt{4 - x}$;

г) $\sqrt{6x - 18} + \sqrt{x + 1}$.

а)

Область определения выражения $\sqrt{12 - 3x} + \sqrt{x + 2}$ находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия, которые образуют систему неравенств:

$\begin{cases} 12 - 3x \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) Решаем первое неравенство:

$12 - 3x \ge 0$

$-3x \ge -12$

При делении обеих частей на отрицательное число $-3$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-12}{-3}$

$x \le 4$

2) Решаем второе неравенство:

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Областью определения является пересечение решений этих неравенств, то есть все значения $x$, удовлетворяющие одновременно условиям $x \le 4$ и $x \ge -2$.

Геометрически это отрезок на числовой прямой между $-2$ и $4$, включая концы. В виде двойного неравенства это записывается как $-2 \le x \le 4$.

Ответ: $[-2; 4]$.

б)

Для нахождения области определения выражения $\sqrt{15 - 3x} + \sqrt{4 + x}$ необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были больше или равны нулю. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 15 - 3x \ge 0 \\ 4 + x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$15 - 3x \ge 0$

$-3x \ge -15$

$x \le \frac{-15}{-3}$

$x \le 5$

Решим второе неравенство:

$4 + x \ge 0$

$x \ge -4$

Пересечением решений $x \le 5$ и $x \ge -4$ является промежуток, который можно записать как двойное неравенство: $-4 \le x \le 5$.

Ответ: $[-4; 5]$.

в)

Область определения выражения $\sqrt{15x - 30} + \sqrt{4 - x}$ задается системой неравенств, в которой подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} 15x - 30 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$15x - 30 \ge 0$

$15x \ge 30$

$x \ge \frac{30}{15}$

$x \ge 2$

Решим второе неравенство:

$4 - x \ge 0$

$-x \ge -4$

$x \le 4$

Пересечением решений $x \ge 2$ и $x \le 4$ является промежуток, где $x$ находится между 2 и 4 включительно: $2 \le x \le 4$.

Ответ: $[2; 4]$.

г)

Для выражения $\sqrt{6x - 18} + \sqrt{x + 1}$ область определения находится из условия неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases} 6x - 18 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$6x - 18 \ge 0$

$6x \ge 18$

$x \ge \frac{18}{6}$

$x \ge 3$

Решим второе неравенство:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Необходимо найти пересечение множеств $x \ge 3$ и $x \ge -1$. Оба неравенства выполняются одновременно, если выполняется более сильное (ограничивающее) из них, то есть $x \ge 3$.

В виде промежутка это записывается как луч, идущий от 3 вправо, включая точку 3.

Ответ: $[3; +\infty)$.