Номер 4.13, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.13 a) $$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0, \\ x^2 - 7x + 12 \ge 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 9x^2 - 1 < 0, \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0; \end{cases}$$

В) $$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 0, \\ x^2 - 36 \ge 0; \end{cases}$$

Г) $$\begin{cases} 49x^2 - 1 < 0, \\ x^2 + 5x + 6 \ge 0. \end{cases}$$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0, \\ x^2 - 7x + 12 \ge 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 16 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-4)(x+4) \ge 0$.

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при значениях $x$ не входящих в интервал между корнями (включая сами корни, так как неравенство нестрогое).

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 7x + 12 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Неравенство можно переписать в виде $(x-3)(x-4) \ge 0$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями (включая корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств.

Решение 1: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

Объединяя эти условия, видим, что общими являются промежуток $(-\infty, -4]$ и промежуток $[4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 9x^2 - 1 < 0, \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $9x^2 - 1 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(3x-1)(3x+1) < 0$.

Корни соответствующего уравнения $9x^2 - 1 = 0$ равны $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 1/3$. Ветви параболы $y = 9x^2 - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-1/3, 1/3)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Неравенство можно записать как $(x-1)(x-2) \ge 0$.

Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-1/3, 1/3)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Интервал $(-1/3, 1/3)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty, 1]$. Следовательно, пересечением этих двух множеств является интервал $(-1/3, 1/3)$.

Ответ: $x \in (-1/3, 1/3)$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 0, \\ x^2 - 36 \ge 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение 8. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Неравенство можно записать как $(x-2)(x-4) < 0$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (2, 4)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 36 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-6)(x+6) \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - 36 = 0$ равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$. Ветви параболы $y = x^2 - 36$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (2, 4)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, +\infty)$.

Множество чисел, принадлежащих интервалу $(2, 4)$, не имеет общих точек с множеством чисел, которые меньше или равны -6, или больше или равны 6. Пересечение множеств пусто.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 49x^2 - 1 < 0, \\ x^2 + 5x + 6 \ge 0. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $49x^2 - 1 < 0$.

Разложим на множители: $(7x-1)(7x+1) < 0$.

Корни уравнения $49x^2 - 1 = 0$ равны $x_1 = -1/7$ и $x_2 = 1/7$. Ветви параболы $y = 49x^2 - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-1/7, 1/7)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 5x + 6 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, произведение 6. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Неравенство можно записать как $(x+3)(x+2) \ge 0$.

Ветви параболы $y = x^2 + 5x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-1/7, 1/7)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$.

Все числа из интервала $(-1/7, 1/7)$ больше, чем -2, поэтому этот интервал полностью содержится в промежутке $[-2, +\infty)$. Следовательно, пересечением является интервал $(-1/7, 1/7)$.

Ответ: $x \in (-1/7, 1/7)$.