Номер 4.9, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему неравенств.

4.9 a) $ \begin{cases} 2x - 4 \geq 0, \\ x^2 - 7x + 12 < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 5x - 10 > 15, \\ x^2 + x - 6 \leq 0; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} 3x - 1 < 0, \\ x^2 - 3x + 2 \geq 0; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} 3x - 10 > 5x - 5, \\ x^2 + 5x + 6 < 0. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ x^2 - 7x + 12 < 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство: $2x - 4 \ge 0$.
$2x \ge 4$
$x \ge 2$.
Решением является промежуток $[2, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство: $x^2 - 7x + 12 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы $y = x^2 - 7x + 12$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 7x + 12 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, $3 < x < 4$. Решением является промежуток $(3, 4)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[2, +\infty) \cap (3, 4)$.
Пересечением этих промежутков является интервал $(3, 4)$.
Ответ: $(3, 4)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x - 10 > 15 \\ x^2 + x - 6 \le 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство: $5x - 10 > 15$.
$5x > 25$
$x > 5$.
Решением является промежуток $(5, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство: $x^2 + x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $-3 \le x \le 2$. Решением является промежуток $[-3, 2]$.
3. Найдем пересечение решений: $(5, +\infty) \cap [-3, 2]$.
Данные множества не имеют общих точек, их пересечение пусто.
Ответ: Нет решений.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 1 < 0 \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство: $3x - 1 < 0$.
$3x < 1$
$x < \frac{1}{3}$.
Решением является промежуток $(-\infty, \frac{1}{3})$.
2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $x \le 1$ или $x \ge 2$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, \frac{1}{3}) \cap ((-\infty, 1] \cup [2, +\infty))$.
Пересечением является интервал $(-\infty, \frac{1}{3})$.
Ответ: $(-\infty, \frac{1}{3})$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 10 > 5x - 5 \\ x^2 + 5x + 6 < 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство: $3x - 10 > 5x - 5$.
$3x - 5x > 10 - 5$
$-2x > 5$
$x < -\frac{5}{2}$.
Решением является промежуток $(-\infty, -2.5)$.
2. Решим второе неравенство: $x^2 + 5x + 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.
Ветви параболы $y = x^2 + 5x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x + 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, $-3 < x < -2$. Решением является промежуток $(-3, -2)$.
3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, -2.5) \cap (-3, -2)$.
Пересечением этих промежутков является интервал $(-3, -2.5)$.
Ответ: $(-3, -2.5)$.