Номер 4.10, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.10 а) $\begin{cases} 7x^2 - x + 3 \le 0, \\ 2x + 3 > 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -3x^2 + 2x - 1 \le 0, \\ 6x > 3(x + 1) - 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x^2 - 2x + 1 \le 0, \\ 2(x + 3) - (x - 8) < 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} -2x^2 + 3x - 2 < 0, \\ -3(6x - 1) - 2x < x. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 7x^2 - x + 3 \le 0, \\ 2x + 3 > 7; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $7x^2 - x + 3 \le 0$.

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 7x^2 - x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 7 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $7x^2 - x + 3 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 1 - 84 = -83$.

Так как дискриминант $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх ($a > 0$), то квадратный трехчлен $7x^2 - x + 3$ принимает только положительные значения при любых значениях $x$. Следовательно, неравенство $7x^2 - x + 3 \le 0$ не имеет решений.

2. Решим второе неравенство: $2x + 3 > 7$.

$2x > 7 - 3$

$2x > 4$

$x > 2$

Решением второго неравенства является промежуток $(2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений. Так как первое неравенство не имеет решений (решение - пустое множество $\emptyset$), то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -3x^2 + 2x - 1 \le 0, \\ 6x > 3(x + 1) - 1; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $-3x^2 + 2x - 1 \le 0$.

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 + 2x - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -3 < 0$). Найдем дискриминант уравнения $-3x^2 + 2x - 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 4 - 12 = -8$.

Так как $D < 0$ и $a < 0$, квадратный трехчлен $-3x^2 + 2x - 1$ принимает только отрицательные значения при любых $x$. Следовательно, неравенство $-3x^2 + 2x - 1 \le 0$ выполняется для всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $6x > 3(x + 1) - 1$.

$6x > 3x + 3 - 1$

$6x > 3x + 2$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Решением второго неравенства является промежуток $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty; +\infty) \cap (\frac{2}{3}; +\infty) = (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

в)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 5x^2 - 2x + 1 \le 0, \\ 2(x + 3) - (x - 8) < 4; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $5x^2 - 2x + 1 \le 0$.

Рассмотрим функцию $y = 5x^2 - 2x + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 5 > 0$). Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 2x + 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

Так как $D < 0$ и $a > 0$, квадратный трехчлен $5x^2 - 2x + 1$ принимает только положительные значения при любых $x$. Следовательно, неравенство $5x^2 - 2x + 1 \le 0$ не имеет решений.

2. Решим второе неравенство: $2(x + 3) - (x - 8) < 4$.

$2x + 6 - x + 8 < 4$

$x + 14 < 4$

$x < 4 - 14$

$x < -10$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; -10)$.

3. Поскольку первое неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -2x^2 + 3x - 2 < 0, \\ -3(6x - 1) - 2x < x; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $-2x^2 + 3x - 2 < 0$.

Рассмотрим функцию $y = -2x^2 + 3x - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -2 < 0$). Найдем дискриминант уравнения $-2x^2 + 3x - 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$ и $a < 0$, квадратный трехчлен $-2x^2 + 3x - 2$ принимает только отрицательные значения при любых $x$. Следовательно, неравенство $-2x^2 + 3x - 2 < 0$ выполняется для всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $-3(6x - 1) - 2x < x$.

$-18x + 3 - 2x < x$

$-20x + 3 < x$

$3 < x + 20x$

$3 < 21x$

$x > \frac{3}{21}$

$x > \frac{1}{7}$

Решением второго неравенства является промежуток $(\frac{1}{7}; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty; +\infty) \cap (\frac{1}{7}; +\infty) = (\frac{1}{7}; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{1}{7}; +\infty)$.