Номер 4.17, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.17 a) $-2 \le 1 - 2x \le 2$;

б) $-1 \le \frac{6 - 2x}{4} \le 0$;

в) $-5 < 3 - 4x \le 3$;

г) $-3 < \frac{5x + 2}{2} < 1$.

а) Дано двойное неравенство $-2 \le 1 - 2x \le 2$.
Для его решения будем выполнять равносильные преобразования одновременно для всех трех частей.
1. Вычтем 1 из каждой части неравенства, чтобы избавиться от свободного члена в центральной части:
$-2 - 1 \le 1 - 2x - 1 \le 2 - 1$
$-3 \le -2x \le 1$
2. Разделим все части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-3}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{1}{-2}$
$1,5 \ge x \ge -0,5$
3. Запишем полученное неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:
$-0,5 \le x \le 1,5$
Это означает, что $x$ принадлежит отрезку от -0,5 до 1,5, включая концы.
Ответ: $x \in [-0,5; 1,5]$.

б) Дано двойное неравенство $-1 \le \frac{6 - 2x}{4} \le 0$.
1. Умножим все части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не меняются:
$-1 \cdot 4 \le \frac{6 - 2x}{4} \cdot 4 \le 0 \cdot 4$
$-4 \le 6 - 2x \le 0$
2. Вычтем 6 из всех частей неравенства:
$-4 - 6 \le 6 - 2x - 6 \le 0 - 6$
$-10 \le -2x \le -6$
3. Разделим все части на -2, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:
$\frac{-10}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{-6}{-2}$
$5 \ge x \ge 3$
4. Запишем в стандартном порядке:
$3 \le x \le 5$
Решением является отрезок от 3 до 5 включительно.
Ответ: $x \in [3; 5]$.

в) Дано двойное неравенство $-5 < 3 - 4x \le 3$.
1. Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-5 - 3 < 3 - 4x - 3 \le 3 - 3$
$-8 < -4x \le 0$
2. Разделим все части на -4. При этом знаки неравенства меняются на противоположные (строгий знак `>` меняется на `<`, а нестрогий `≤` на `≥`):
$\frac{-8}{-4} > \frac{-4x}{-4} \ge \frac{0}{-4}$
$2 > x \ge 0$
3. Запишем в стандартном порядке от меньшего к большему:
$0 \le x < 2$
Решением является полуинтервал от 0 (включительно) до 2 (не включительно).
Ответ: $x \in [0; 2)$.

г) Дано двойное неравенство $-3 < \frac{5x + 2}{2} < 1$.
1. Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется:
$-3 \cdot 2 < \frac{5x + 2}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$
$-6 < 5x + 2 < 2$
2. Вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-6 - 2 < 5x + 2 - 2 < 2 - 2$
$-8 < 5x < 0$
3. Разделим все части на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства не меняются:
$\frac{-8}{5} < \frac{5x}{5} < \frac{0}{5}$
$-1,6 < x < 0$
Решением является интервал от -1,6 до 0, не включая концы.
Ответ: $x \in (-1,6; 0)$.