Номер 3.20, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.20 Даны три числовых промежутка:

$A = (7; 7; 11), B = [\sqrt{97}; \sqrt{167}], C = (\sqrt{101}; 13]$.

Найдите множества:

а) $(A \cap B) \cap C;$

б) $(A \cap B) \cup C;$

в) $(A \cup B) \cap C;$

г) $(A \cup B) \cup C.$

Для решения задачи сначала определим примерные значения границ промежутков и их взаимное расположение на числовой оси.

Даны множества:

• $A = (7; 11)$
• $B = [\sqrt{97}; \sqrt{167}]$
• $C = (\sqrt{101}; 13]$

Оценим значения корней:

• $9^2 = 81$, $10^2 = 100 \implies 9 < \sqrt{97} < 10$.
• $10^2 = 100$, $11^2 = 121 \implies 10 < \sqrt{101} < 11$.
• $12^2 = 144$, $13^2 = 169 \implies 12 < \sqrt{167} < 13$.

Расположим все граничные точки на числовой прямой в порядке возрастания:

$7 = \sqrt{49}$

$11 = \sqrt{121}$

$13 = \sqrt{169}$

Поскольку $49 < 97 < 101 < 121 < 167 < 169$, то справедлива следующая последовательность:

$7 < \sqrt{97} < \sqrt{101} < 11 < \sqrt{167} < 13$.

Теперь найдем промежуточные множества $A \cap B$ и $A \cup B$.

Пересечение $A \cap B$:

Нужно найти общие элементы для $A = (7; 11)$ и $B = [\sqrt{97}; \sqrt{167}]$.

Нижняя граница пересечения — это наибольшая из нижних границ, то есть $\max(7, \sqrt{97}) = \sqrt{97}$.

Верхняя граница пересечения — это наименьшая из верхних границ, то есть $\min(11, \sqrt{167}) = 11$.

Поскольку $\sqrt{97}$ входит в множество B, а 11 не входит в множество A, получаем:

$A \cap B = [\sqrt{97}; 11)$.

Объединение $A \cup B$:

Нужно объединить элементы $A = (7; 11)$ и $B = [\sqrt{97}; \sqrt{167}]$.

Так как $\sqrt{97} < 11$, эти промежутки пересекаются.

Нижняя граница объединения — это наименьшая из нижних границ, то есть $\min(7, \sqrt{97}) = 7$.

Верхняя граница объединения — это наибольшая из верхних границ, то есть $\max(11, \sqrt{167}) = \sqrt{167}$.

Поскольку 7 не входит в множество A, а $\sqrt{167}$ входит в множество B, получаем:

$A \cup B = (7; \sqrt{167}]$.

Теперь решим поставленные задачи.

а) $(A \cap B) \cap C$

Нам нужно найти пересечение множества $A \cap B = [\sqrt{97}; 11)$ и множества $C = (\sqrt{101}; 13]$.

Нижняя граница итогового множества: $\max(\sqrt{97}, \sqrt{101}) = \sqrt{101}$. Скобка круглая, так как $\sqrt{101}$ не входит в C.

Верхняя граница итогового множества: $\min(11, 13) = 11$. Скобка круглая, так как 11 не входит в $A \cap B$.

Следовательно, $(A \cap B) \cap C = (\sqrt{101}; 11)$.

Ответ: $(\sqrt{101}; 11)$

б) $(A \cap B) \cup C$

Нам нужно найти объединение множества $A \cap B = [\sqrt{97}; 11)$ и множества $C = (\sqrt{101}; 13]$.

Поскольку $\sqrt{101} < 11$, эти промежутки пересекаются.

Нижняя граница итогового множества: $\min(\sqrt{97}, \sqrt{101}) = \sqrt{97}$. Скобка квадратная, так как $\sqrt{97}$ входит в $A \cap B$.

Верхняя граница итогового множества: $\max(11, 13) = 13$. Скобка квадратная, так как 13 входит в C.

Следовательно, $(A \cap B) \cup C = [\sqrt{97}; 13]$.

Ответ: $[\sqrt{97}; 13]$

в) $(A \cup B) \cap C$

Нам нужно найти пересечение множества $A \cup B = (7; \sqrt{167}]$ и множества $C = (\sqrt{101}; 13]$.

Нижняя граница итогового множества: $\max(7, \sqrt{101}) = \sqrt{101}$. Скобка круглая, так как $\sqrt{101}$ не входит в C.

Верхняя граница итогового множества: $\min(\sqrt{167}, 13) = \sqrt{167}$. Скобка квадратная, так как $\sqrt{167}$ входит и в $A \cup B$, и в C (поскольку $\sqrt{101} < \sqrt{167} \le 13$).

Следовательно, $(A \cup B) \cap C = (\sqrt{101}; \sqrt{167}]$.

Ответ: $(\sqrt{101}; \sqrt{167}]$

г) $(A \cup B) \cup C$

Нам нужно найти объединение множества $A \cup B = (7; \sqrt{167}]$ и множества $C = (\sqrt{101}; 13]$.

Это эквивалентно объединению всех трех множеств $A \cup B \cup C$.

Нижняя граница итогового множества: $\min(7, \sqrt{101}) = 7$. Скобка круглая, так как 7 не входит в $A \cup B$.

Верхняя граница итогового множества: $\max(\sqrt{167}, 13) = 13$. Скобка квадратная, так как 13 входит в C.

Следовательно, $(A \cup B) \cup C = (7; 13]$.

Ответ: $(7; 13]$