Номер 3, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Сформулируйте правила, с помощью которых решают неравенства с одной переменной.

Решение неравенства с одной переменной — это нахождение множества всех значений переменной, при которых данное неравенство является верным. Это множество обычно представляет собой числовой промежуток или объединение промежутков. Процесс решения основан на последовательных преобразованиях исходного неравенства в более простое, но равносильное ему. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Основные правила для решения неравенств основаны на свойствах числовых неравенств.

Правило 1: Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую

Любой член неравенства можно перенести из одной его части в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Знак самого неравенства при этом не меняется. Это преобразование равносильно прибавлению или вычитанию одного и того же числа или выражения к обеим частям неравенства.
Например, если у нас есть неравенство $f(x) + g(x) > h(x)$, мы можем перенести $g(x)$ в правую часть: $f(x) > h(x) - g(x)$.
Пример: Решить неравенство $3x + 5 > 8$.
Перенесем число 5 из левой части в правую, изменив знак: $3x > 8 - 5$, что равносильно $3x > 3$.

Правило 2: Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. При этом знак неравенства сохраняется.
Если $c > 0$ и $a > b$, то $ac > bc$ и $a/c > b/c$.
Пример: Продолжим решение неравенства $3x > 3$.
Разделим обе части на положительное число 3. Знак `>` сохранится: $x > 3 / 3$, что равносильно $x > 1$. Решением является интервал $(1, +\infty)$.

Правило 3: Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число

Это ключевое правило, отличающее решение неравенств от решения уравнений. При умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный: знак `>` меняется на `<`; знак `<` на `>`; знак `≥` на `≤`; знак `≤` на `≥`.
Если $c < 0$ и $a > b$, то $ac < bc$ и $a/c < b/c$.
Пример: Решить неравенство $-5x \le 20$.
Разделим обе части на отрицательное число -5. При этом знак `≤` нужно поменять на `≥`: $x \ge 20 / (-5)$, что равносильно $x \ge -4$. Решением является промежуток $[-4, +\infty)$.

Общий подход к решению линейных неравенств

1. С помощью Правила 1 перенести все слагаемые с переменной в одну часть, а все постоянные слагаемые (числа) — в другую.
2. Привести подобные слагаемые в каждой части, чтобы получить неравенство вида $kx > d$ (или с другими знаками: <, $\le$, $\ge$).
3. Если коэффициент $k \ne 0$, разделить обе части на $k$. Если $k > 0$, знак неравенства сохраняется (Правило 2). Если $k < 0$, знак неравенства меняется на противоположный (Правило 3).
4. Записать ответ в виде числового промежутка.

Решение более сложных неравенств (метод интервалов)

Для квадратных, дробно-рациональных и других более сложных неравенств часто применяется метод интервалов.
1. Перенести все члены неравенства в одну часть, чтобы получить неравенство вида $f(x) > 0$ (или <, $\le$, $\ge$).
2. Найти область определения функции $f(x)$ и ее нули (точки, где $f(x)=0$). Для дробей это нули числителя и нули знаменателя.
3. Нанести найденные точки на числовую ось. Они разобьют ось на промежутки.
4. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных промежутков.
5. Выбрать те промежутки, которые удовлетворяют исходному неравенству, и записать ответ.

Ответ: Для решения неравенств с одной переменной используют следующие правила равносильных преобразований: 1. Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, меняя их знак на противоположный. 2. Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства. 3. При умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Для нелинейных неравенств, как правило, применяют метод интервалов.