Номер 10, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c \leq 0$, где $a \neq 0$. Примените его для решения неравенства $x^2 + 2x - 3 \leq 0$.

Алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$, где $a \ne 0$

Решение квадратного неравенства методом парабол заключается в определении, на каких промежутках числовой оси график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ расположен не выше оси абсцисс.

1. Определить направление ветвей параболы, которая является графиком функции $y = ax^2 + bx + c$, по знаку старшего коэффициента $a$:
   - Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   - Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти нули функции, то есть корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого сначала вычисляется дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

3. Проанализировать расположение параболы относительно оси Ox в зависимости от знака дискриминанта $D$ и коэффициента $a$:

   • Если $D > 0$: уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_1 < x_2$). Парабола пересекает ось Ox в двух точках.
     - При $a > 0$ (ветви вверх), функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) на отрезке между корнями. Решение: $x \in [x_1, x_2]$.
     - При $a < 0$ (ветви вниз), функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) за пределами отрезка между корнями. Решение: $x \in (-\infty, x_1] \cup [x_2, \infty]$.

   • Если $D = 0$: уравнение имеет один действительный корень (двойной кратности) $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине).
     - При $a > 0$ (ветви вверх), функция всегда неотрицательна ($y \ge 0$). Условие $y \le 0$ выполняется только в одной точке, где $y=0$. Решение: $x = x_0$.
     - При $a < 0$ (ветви вниз), функция всегда неположительна ($y \le 0$). Решение: $x \in (-\infty, \infty)$.

   • Если $D < 0$: уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox.
     - При $a > 0$ (ветви вверх), вся парабола расположена выше оси Ox, то есть $y > 0$ для любого $x$. Неравенство $y \le 0$ не имеет решений. Решение: $\emptyset$.
     - При $a < 0$ (ветви вниз), вся парабола расположена ниже оси Ox, то есть $y < 0$ для любого $x$. Неравенство $y \le 0$ выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty, \infty)$.

4. Схематически изобразить параболу, отметив направление ветвей и точки пересечения (или касания) с осью Ox, и на основе этого определить промежутки, где $y \le 0$.

5. Записать итоговый ответ.

Применение алгоритма для решения неравенства $x^2 + 2x - 3 \le 0$

Решим неравенство $x^2 + 2x - 3 \le 0$, следуя приведенному алгоритму.

1. Рассматриваем функцию $y = x^2 + 2x - 3$. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$.

2. Так как старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.
   Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

4. Поскольку $D = 16 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
   $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.
   $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.

5. Схематически парабола $y = x^2 + 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, и пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 1$.

6. Требуется найти значения $x$, при которых $y \le 0$. Для параболы с ветвями вверх это промежуток между корнями, включая сами корни.

7. Таким образом, решение неравенства — это все числа $x$, такие что $-3 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-3, 1]$.