Номер 1, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что означает запись $A \subset B$?

1. Запись $A \subset B$ читается как «множество $A$ является собственным (или строгим) подмножеством множества $B$». Это означает, что все элементы множества $A$ содержатся в множестве $B$, но при этом множество $A$ не равно множеству $B$.

Для выполнения отношения $A \subset B$ необходимо одновременное соблюдение двух условий:

1. Условие включения: Каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. На языке математической логики это записывается как $\forall x (x \in A \implies x \in B)$. Это условие само по себе означает, что $A$ является подмножеством $B$ и обозначается как $A \subseteq B$.

2. Условие строгости: Существует хотя бы один элемент в множестве $B$, который не принадлежит множеству $A$. Это гарантирует, что множества не равны ($A \neq B$). Формально: $\exists y (y \in B \land y \notin A)$.

Пример:

Пусть даны два множества: $A = \{1, 2\}$ и $B = \{1, 2, 3\}$.

Здесь все элементы из $A$ (1 и 2) есть и в $B$. Однако в множестве $B$ есть элемент 3, которого нет в множестве $A$. Следовательно, $A$ является собственным подмножеством $B$, и запись $A \subset B$ является верной.

Примечание о вариантах нотации:

Важно знать, что в некоторых математических текстах (особенно в зарубежной литературе) символ $\subset$ может обозначать нестрогое подмножество (то есть допускать равенство $A=B$). В таких случаях для строгого подмножества, о котором идет речь, используется отдельный символ $\subsetneq$. Однако в подавляющем большинстве российских учебников и стандартов принята именно та трактовка, где $\subset$ обозначает строгое включение.

Ответ: Запись $A \subset B$ означает, что множество A является собственным (строгим) подмножеством множества B. Это значит, что все элементы множества A принадлежат множеству B, но при этом множество B содержит как минимум один элемент, не принадлежащий множеству A (то есть, $A \neq B$).