Номер 13, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13. В чём состоит геометрический смысл выражения $|a - b|$, где $a, b$ — действительные числа?

Геометрический смысл выражения $|a - b|$, где $a$ и $b$ — действительные числа, заключается в определении расстояния между точками на координатной прямой.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой (координатной) оси. Пусть числу $a$ соответствует точка $A$, а числу $b$ — точка $B$.

Расстояние между двумя точками на прямой — это длина отрезка, их соединяющего. Эта величина всегда неотрицательна. Чтобы найти эту длину, необходимо из координаты точки, расположенной правее, вычесть координату точки, расположенной левее.

Рассмотрим это с использованием определения модуля. Модуль разности $|a - b|$ можно раскрыть двумя способами:
1. Если $a \ge b$, то разность $a - b$ неотрицательна. По определению модуля, $|a - b| = a - b$. В этом случае точка $A$ находится на координатной прямой не левее точки $B$, и расстояние между ними как раз равно $a - b$.
2. Если $a < b$, то разность $a - b$ отрицательна. По определению модуля, $|a - b| = -(a - b) = b - a$. В этом случае точка $B$ находится правее точки $A$, и расстояние между ними равно $b - a$.

Как видно из обоих случаев, результат вычисления выражения $|a - b|$ всегда совпадает с расстоянием между точками $A$ и $B$ на координатной прямой, независимо от их взаимного расположения. Свойство модуля $|a - b| = |b - a|$ также отражает тот факт, что расстояние от точки $A$ до точки $B$ равно расстоянию от точки $B$ до точки $A$.

Ответ: Геометрический смысл выражения $|a - b|$ — это расстояние на координатной прямой между точкой с координатой $a$ и точкой с координатой $b$.