Номер 2, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Верно ли такое решение неравенства $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$: так как $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$, то, перейдя к обратным числам, получим $x \ge 3$? Решите неравенство $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$, применяя правила и метод интервалов. Сравните полученное решение с найденным выше ($x \ge 3$). Почему результаты получились различными?

Верно ли такое решение неравенства $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$: так как $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$, то, перейдя к обратным числам, получим $x \ge 3$?

Нет, такое решение неверно. Оно является неполным.

Правило, по которому при переходе к обратным числам знак неравенства меняется на противоположный (из $a \le b$ следует $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}$), справедливо только в том случае, когда обе части неравенства, $a$ и $b$, имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).

В неравенстве $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$ правая часть $\frac{1}{3}$ положительна. Левая часть $\frac{1}{x}$ может быть как положительной, так и отрицательной.

1. Если $x > 0$, то $\frac{1}{x} > 0$. В этом случае обе части неравенства положительны, и мы можем применить указанное правило: перейти к обратным числам, изменив знак неравенства. Получим $x \ge 3$. Учитывая исходное условие $x > 0$, решением в этом случае будет $x \ge 3$.
2. Если $x < 0$, то $\frac{1}{x} < 0$. В этом случае неравенство $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$ выполняется всегда, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Следовательно, все $x < 0$ являются решениями.

Предложенное решение $x \ge 3$ учитывает только первый случай и полностью теряет вторую часть решения $x < 0$.

Ответ: Нет, решение неверно, так как оно не учитывает случай, когда $x < 0$.

Решите неравенство $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$, применяя правила и метод интервалов.

Для решения неравенства методом интервалов перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{3} \le 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot x}{3x} \le 0$

$\frac{3 - x}{3x} \le 0$

Теперь найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3 - x = 0 \implies x = 3$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет входить в решение.
Нуль знаменателя: $3x = 0 \implies x = 0$. Эта точка не входит в область допустимых значений (ОДЗ), поэтому она всегда исключается из решения.

Нанесем точки $0$ и $3$ на числовую ось. Точка $0$ будет выколотой, а точка $3$ — закрашенной. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $[3, \infty)$.

Определим знак выражения $f(x) = \frac{3 - x}{3x}$ в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x = -1$: $f(-1) = \frac{3 - (-1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (0, 3)$, например $x = 1$: $f(1) = \frac{3 - 1}{3(1)} = \frac{2}{3} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (3, \infty)$, например $x = 4$: $f(4) = \frac{3 - 4}{3(4)} = \frac{-1}{12} < 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы и точку $x=3$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [3, \infty)$.

Сравните полученное решение с найденным выше ($x \ge 3$). Почему результаты получились различными?

Предложенное решение: $x \ge 3$, или в виде интервала $[3, \infty)$.

Решение, полученное методом интервалов: $x < 0$ или $x \ge 3$, или в виде интервалов $(-\infty, 0) \cup [3, \infty)$.

Результаты различны, потому что первое решение ($x \ge 3$) является лишь частью полного правильного решения. В нем потерян интервал $(-\infty, 0)$.

Причина различия заключается в некорректном применении свойства неравенств в первом способе. "Переворачивание" дробей с изменением знака неравенства возможно только для чисел одного знака. Предложенное решение неявно предполагает, что $\frac{1}{x} > 0$, то есть $x > 0$. Этот подход игнорирует случай, когда $x$ является отрицательным числом. Если $x < 0$, то $\frac{1}{x}$ — отрицательное число, и оно в любом случае меньше положительного числа $\frac{1}{3}$.

Метод интервалов является универсальным. Он сводит неравенство к сравнению выражения с нулем и анализирует знак этого выражения на всей числовой оси, учитывая все возможные случаи и область допустимых значений. Поэтому он дает полный и правильный ответ.

Ответ: Результаты получились различными, потому что первый способ решения теряет часть ответа ($x < 0$) из-за неправомерного применения правила перехода к обратным числам, которое справедливо только для чисел одного знака. Метод интервалов является более общим и позволяет найти все решения неравенства.