Номер 1, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Расскажите, в чём состоит метод решения неравенств, называемый методом интервалов, и примените его для решения неравенства:

a) $x(x+1)(x-2) < 0$;

б) $(x-1)(x-3)(x+4) \ge 0$.

Метод интервалов (или метод промежутков) — это алгоритм для решения неравенств вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \geq 0$ или $f(x) \leq 0$. Он особенно эффективен для рациональных неравенств. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Привести неравенство к виду, где в одной части стоит функция $f(x)$, а в другой — ноль.
2. Найти область определения функции $f(x)$.
3. Найти нули функции, то есть решить уравнение $f(x) = 0$. Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x)$ обращается в ноль.
4. Нанести на числовую ось нули функции и точки, в которых функция не определена (если они есть). Эти точки разобьют числовую ось на несколько интервалов.
5. Если неравенство строгое (со знаками $ < $ или $ > $), то нули функции на оси отмечаются "выколотыми" (пустыми) точками, что означает, что они не входят в решение. Если неравенство нестрогое (со знаками $ \leq $ или $ \geq $), точки отмечаются "закрашенными" (сплошными), что означает, что они являются частью решения.
6. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку из каждого интервала, подставить ее в $f(x)$ и определить знак результата. Если функция $f(x)$ представляет собой произведение или частное множителей вида $(x-a)$ в нечетных степенях, то знаки на интервалах будут чередоваться. В этом случае достаточно определить знак в самом правом интервале и расставить остальные, чередуя их.
7. Выбрать интервалы, знак на которых соответствует знаку неравенства. Например, для $f(x) > 0$ выбираются интервалы со знаком "+".
8. Записать ответ в виде объединения выбранных интервалов, учитывая, включать ли концы интервалов (в зависимости от того, "выколотые" или "закрашенные" точки).

а) Решим неравенство $x(x + 1)(x - 2) < 0$.

1. Неравенство уже приведено к нужному виду. Пусть $f(x) = x(x + 1)(x - 2)$. Нам нужно найти, где $f(x) < 0$.

2. Находим нули функции $f(x)$, решая уравнение $x(x + 1)(x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$.

3. Наносим эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое ($ < $), все точки будут выколотыми.

4. Точки $-1$, $0$, $2$ разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

5. Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале.

• В интервале $(2; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=3$: $f(3) = 3(3+1)(3-2) = 3 \cdot 4 \cdot 1 = 12 > 0$. Знак "+".
• Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
• В интервале $(0; 2)$ знак будет "−".
• В интервале $(-1; 0)$ знак будет "+".
• В интервале $(-\infty; -1)$ знак будет "−".

6. Нам нужны интервалы, где $f(x) < 0$. Это интервалы со знаком "−".
Выбираем интервалы $(-\infty; -1)$ и $(0; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 2)$.

б) Решим неравенство $(x - 1)(x - 3)(x + 4) \geq 0$.

1. Неравенство уже приведено к нужному виду. Пусть $f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 4)$. Нам нужно найти, где $f(x) \geq 0$.

2. Находим нули функции $f(x)$, решая уравнение $(x - 1)(x - 3)(x + 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = -4$.

3. Наносим эти точки на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($ \geq $), все точки будут закрашенными.

4. Точки $-4$, $1$, $3$ разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; 1]$, $[1; 3]$ и $[3; +\infty)$.

5. Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале.

• В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=4$: $f(4) = (4-1)(4-3)(4+4) = 3 \cdot 1 \cdot 8 = 24 > 0$. Знак "+".
• Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
• В интервале $(1; 3)$ знак будет "−".
• В интервале $(-4; 1)$ знак будет "+".
• В интервале $(-\infty; -4)$ знак будет "−".

6. Нам нужны интервалы, где $f(x) \geq 0$. Это интервалы со знаком "+" и сами точки, где $f(x)=0$.
Выбираем интервалы $[-4; 1]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-4; 1] \cup [3; +\infty)$.