Номер 6, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Выпишите все двухэлементные подмножества множества ${1, 2, 3, 4, 5}$.

Задача состоит в том, чтобы найти все подмножества, состоящие ровно из двух элементов, для заданного множества $M = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Важно помнить, что в множествах порядок элементов не имеет значения, поэтому подмножество $\{1, 2\}$ — это то же самое, что и подмножество $\{2, 1\}$.

Такие подмножества называются сочетаниями. Нам нужно найти все сочетания из 5 элементов по 2. Общее количество таких сочетаний можно вычислить по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее число элементов в множестве ($n=5$), а $k$ — число элементов в подмножестве ($k=2$).

Подставим наши значения в формулу, чтобы узнать, сколько всего должно получиться подмножеств:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$.
Итак, мы должны найти 10 двухэлементных подмножеств.

Чтобы выписать все подмножества systematically и ничего не пропустить, будем формировать пары. Возьмем первый элемент множества (1) и составим с ним все возможные пары. Затем возьмем второй элемент (2) и составим пары с оставшимися элементами, и так далее.

1. Подмножества, содержащие элемент 1:
$\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}$

2. Подмножества, содержащие элемент 2 (пару с 1 уже учли, поэтому начинаем с 3):
$\{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}$

3. Подмножества, содержащие элемент 3 (пары с 1 и 2 уже учтены):
$\{3, 4\}, \{3, 5\}$

4. Подмножество, содержащее элемент 4 (пары с 1, 2, 3 уже учтены):
$\{4, 5\}$

Все возможные пары составлены. Мы получили ровно 10 подмножеств, как и предсказывала формула.

Ответ: $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}$.