Номер 10, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Дано: $A = [1; 5]$, $B = (3; 8)$. Найдите:

а) $A \cup B$;

б) $A \cap B$.

Даны два числовых множества (промежутка): $A = [1; 5]$ и $B = (3; 8)$. Множество $A$ представляет собой замкнутый интервал (отрезок), включающий все действительные числа от 1 до 5, включая концы: $1 \le x \le 5$. Множество $B$ представляет собой открытый интервал, включающий все действительные числа от 3 до 8, не включая концы: $3 < x < 8$.

Объединение множеств $A \cup B$ содержит все элементы, которые принадлежат множеству $A$, или множеству $B$, или обоим множествам одновременно. Чтобы найти объединение, мы можем мысленно или на числовой оси расположить оба промежутка.

Промежуток $A$ начинается с 1, а промежуток $B$ заканчивается 8. Поскольку эти промежутки пересекаются (общая часть от 3 до 5), их объединение будет представлять собой один непрерывный промежуток. Наименьшее значение в объединении будет наименьшим значением из обоих множеств, то есть 1 (из множества $A$). Так как 1 включена в множество $A$ (квадратная скобка), она будет включена и в объединение. Наибольшее значение в объединении будет наибольшим значением из обоих множеств, то есть 8 (из множества $B$). Так как 8 не включена в множество $B$ (круглая скобка), она не будет включена и в объединение. Таким образом, объединение $A \cup B$ включает все числа от 1 (включительно) до 8 (не включительно).

Ответ: $A \cup B = [1; 8)$.

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Мы ищем числа $x$, для которых выполняются оба условия: $1 \le x \le 5$ (принадлежность $A$) и $3 < x < 8$ (принадлежность $B$).

Объединим эти два условия в одно двойное неравенство. Число $x$ должно быть больше 3 (из условия для $B$) и меньше или равно 5 (из условия для $A$). Получаем: $3 < x \le 5$. Этот промежуток и является пересечением множеств $A$ и $B$. Левая граница (3) не включается, так как она не принадлежит множеству $B$. Правая граница (5) включается, так как она принадлежит множеству $A$ и также попадает в интервал множества $B$ (ведь $3 < 5 < 8$). Следовательно, пересечение — это полуинтервал от 3 (не включительно) до 5 (включительно).

Ответ: $A \cap B = (3; 5]$.