Номер 4, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Дана система неравенств

$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0. \end{cases} $ Оказалось, что неравенство $f(x) > 0$ не имеет решений. Что вы можете сказать о решении заданной системы неравенств?

Решением системы неравенств $$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0 \end{cases} $$ называется множество значений переменной $x$, которые удовлетворяют одновременно каждому из неравенств, входящих в систему. Другими словами, решение системы — это пересечение множеств решений первого и второго неравенств.

В условии задачи сказано, что неравенство $f(x) > 0$ не имеет решений. Это означает, что множество значений $x$, для которых функция $f(x)$ принимает положительные значения, является пустым множеством ($\emptyset$).

Поскольку для решения системы необходимо, чтобы выполнялись оба условия, а первое условие ($f(x) > 0$) не выполняется ни при каком значении $x$, то не существует такого значения $x$, которое могло бы быть решением всей системы. Неважно, какие решения имеет второе неравенство $g(x) < 0$, так как уже первое условие делает невозможным нахождение общего решения.

Математически это можно записать так: пусть $A$ — множество решений неравенства $f(x) > 0$, а $B$ — множество решений неравенства $g(x) < 0$. По условию, $A = \emptyset$. Решением системы является пересечение этих множеств: $A \cap B$. Пересечение любого множества с пустым множеством всегда является пустым множеством: $$ \emptyset \cap B = \emptyset $$ Следовательно, множество решений заданной системы неравенств пусто.

Ответ: Заданная система неравенств не имеет решений.