Номер 4, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Что называют графиком уравнения $p(x; y) = 0$?

Графиком уравнения с двумя переменными $p(x; y) = 0$ называют множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Рассмотрим это определение более детально:

1. Координатная плоскость: Имеется в виду декартова система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей — оси абсцисс ($Ox$) и оси ординат ($Oy$). Каждая точка на этой плоскости однозначно определяется парой чисел $(x; y)$, которые называются ее координатами.
2. Решение уравнения: Пара чисел $(x_0; y_0)$ называется решением уравнения $p(x; y) = 0$, если при подстановке этих значений в уравнение вместо переменных $x$ и $y$ соответственно, получается верное числовое равенство. То есть, $p(x_0; y_0) = 0$.
3. Множество точек: График — это не одна точка, а совокупность всех точек, чьи координаты удовлетворяют уравнению. Эта совокупность точек образует на плоскости некоторую фигуру (линию, область и т.д.).

Пример 1: Рассмотрим линейное уравнение $y - 2x + 3 = 0$.

Пара чисел $(2; 1)$ является решением этого уравнения, так как при подстановке $x=2$ и $y=1$ получаем верное равенство: $1 - 2 \cdot 2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Следовательно, точка с координатами $(2; 1)$ принадлежит графику данного уравнения.

Пара чисел $(1; 1)$ не является решением, так как $1 - 2 \cdot 1 + 3 = 2 \neq 0$. Значит, точка $(1; 1)$ не лежит на графике.

Множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $y - 2x + 3 = 0$, образуют на плоскости прямую линию.

Пример 2: Рассмотрим уравнение окружности $x^2 + y^2 - 9 = 0$.

Решениями этого уравнения являются все пары чисел $(x; y)$, для которых выполняется равенство $x^2 + y^2 = 9$. Например, $(0; 3)$, $(3; 0)$, $(\sqrt{5}; -2)$. Множество всех таких точек на координатной плоскости образует окружность с центром в начале координат и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, график уравнения — это визуальное, геометрическое представление множества всех его решений на координатной плоскости.

Ответ: Графиком уравнения $p(x; y) = 0$ с двумя переменными $x$ и $y$ называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых $(x; y)$ являются решениями этого уравнения.