Номер 7, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Что представляет собой график уравнения $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$?

Уравнение $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ является каноническим (стандартным) уравнением окружности на декартовой плоскости. График этого уравнения — это множество всех точек $(x, y)$, расстояние от которых до фиксированной точки $(a, b)$ постоянно и равно $r$.

Давайте разберем, что означает каждый параметр этого уравнения:

• Точка с координатами $(a, b)$ — это центр окружности. Значения $a$ и $b$ определяют смещение центра окружности по осям $Ox$ и $Oy$ соответственно относительно начала координат. Если $a=0$ и $b=0$, центр окружности находится в точке $(0, 0)$.
• Величина $r$ — это радиус окружности. В уравнении используется $r^2$ (квадрат радиуса), поэтому для нахождения радиуса нужно извлечь квадратный корень из правой части уравнения. Радиус должен быть положительным числом ($r > 0$). Если $r^2=0$ (то есть $r=0$), то уравнение представляет собой одну точку $(a,b)$. Если $r^2 < 0$, уравнение не имеет решений в действительных числах, и график будет пустым множеством.

Это уравнение напрямую следует из формулы расстояния между двумя точками, которая, в свою очередь, является следствием теоремы Пифагора. Расстояние $d$ между произвольной точкой окружности $(x, y)$ и ее центром $(a, b)$ всегда равно радиусу $r$.
Формула расстояния: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Применив ее к нашим точкам, получаем: $r = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$.
Возведя обе части в квадрат, мы приходим к искомому уравнению: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

Пример:
Уравнение $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ описывает окружность с центром в точке $(3, -2)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: График уравнения $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ представляет собой окружность с центром в точке с координатами $(a, b)$ и радиусом, равным $r$.