Номер 11, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Расскажите, как графически решить систему уравнений $ \begin{cases} x + 3y = 5, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases} $

Графический метод решения системы уравнений заключается в построении графиков каждого уравнения в одной системе координат и нахождении координат точек их пересечения. Каждая точка пересечения является решением системы, так как ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям.

Построение графика уравнения $x + 3y = 5$
Первое уравнение $x + 3y = 5$ является линейным, его график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых принадлежащих ей точек. Выразим $y$ через $x$:
$3y = 5 - x$
$y = \frac{5-x}{3}$
Найдем координаты двух точек:
1. При $x = 5$, $y = \frac{5-5}{3} = 0$. Получаем точку $(5, 0)$.
2. При $x = -4$, $y = \frac{5-(-4)}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Получаем точку $(-4, 3)$.
На координатной плоскости отмечаем точки $(5, 0)$ и $(-4, 3)$ и проводим через них прямую.

Построение графика уравнения $x^2 + y^2 = 25$
Второе уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности. Стандартный вид уравнения окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ выглядит так: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
В нашем случае уравнение можно записать как $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^2$.
Следовательно, это окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R=5$.
Строим эту окружность на той же координатной плоскости.

Нахождение решения
Решениями системы являются координаты точек, в которых построенная прямая пересекает окружность. На графике мы находим две точки пересечения, определяя их координаты. Это точки $(-4, 3)$ и $(5, 0)$. Эти пары чисел и являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: $(-4, 3)$, $(5, 0)$.