Номер 1, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Расскажите, в чём суть метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными.

Метод подстановки — это один из основных способов решения систем уравнений. Его суть заключается в том, чтобы свести систему из двух уравнений с двумя неизвестными к одному уравнению с одним неизвестным. Это достигается за счет следующих шагов:

1. Выражение переменной. Из одного из уравнений системы (любого, но лучше выбирать наиболее простое) выражают одну переменную через другую. Например, из уравнения $x + 2y = 5$ можно выразить $x$ как $x = 5 - 2y$, или $y$ как $y = (5 - x) / 2$. Проще всего выражать ту переменную, у которой коэффициент равен $1$ или $-1$.
2. Подстановка. Полученное на первом шаге выражение подставляют во второе уравнение системы вместо той переменной, которую выражали. Это "устраняет" одну из переменных, и в результате получается уравнение только с одной неизвестной.
3. Решение уравнения с одной переменной. Решают полученное на втором шаге уравнение и находят значение оставшейся переменной.
4. Нахождение второй переменной. Найденное значение подставляют в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют значение второй переменной.
5. Запись ответа. Решением системы является пара значений переменных $(x; y)$.

Пример:

Рассмотрим решение системы уравнений методом подстановки:

$\begin{cases} 3x - y = 8 \\ 5x + 2y = 9 \end{cases}$

1. Из первого уравнения удобно выразить переменную $y$, так как её коэффициент равен $-1$:
   $ -y = 8 - 3x $
   $ y = 3x - 8 $
2. Теперь подставим полученное выражение $3x - 8$ вместо $y$ во второе уравнение системы:
   $ 5x + 2(3x - 8) = 9 $
3. Решим получившееся уравнение с одной переменной $x$:
   $ 5x + 6x - 16 = 9 $
   $ 11x = 9 + 16 $
   $ 11x = 25 $
   $ x = \frac{25}{11} $
4. Теперь, когда мы нашли $x$, подставим это значение в выражение для $y$ из первого шага:
   $ y = 3x - 8 = 3 \cdot \frac{25}{11} - 8 $
   $ y = \frac{75}{11} - \frac{88}{11} $
   $ y = -\frac{13}{11} $
5. Решение системы — это пара чисел $(\frac{25}{11}; -\frac{13}{11})$.

Ответ: Суть метода подстановки заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, затем подставить это выражение во второе уравнение, что позволяет свести систему к одному уравнению с одной переменной, найти её значение, а затем, вернувшись к выражению, найти значение второй переменной.