Номер 3, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Расскажите, в чём суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными.

Метод алгебраического сложения (или метод сложения) — это способ решения систем уравнений, основной идеей которого является исключение одной из переменных. Это достигается путем сложения или вычитания уравнений системы друг с другом после их предварительного преобразования.

Рассмотрим алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ методом алгебраического сложения:

$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $

• 1. Преобразование уравнений. Умножаем одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных (например, при $y$) стали противоположными числами. То есть, если в одном уравнении есть член $B_1y$, то нужно добиться, чтобы в другом уравнении был член $-B_1y$.
• 2. Сложение уравнений. Складываем левые и правые части преобразованных уравнений. Так как коэффициенты при одной из переменных противоположны, эта переменная взаимно уничтожается (ее сумма равна нулю). В результате мы получаем одно линейное уравнение с одной переменной.
• 3. Решение полученного уравнения. Решаем простое уравнение, полученное на втором шаге, и находим значение одной переменной.
• 4. Нахождение второй переменной. Подставляем найденное на третьем шаге значение переменной в любое из исходных уравнений системы.
• 5. Завершение решения. Решаем полученное уравнение и находим значение второй переменной.
• 6. Запись ответа. Решение системы записывается в виде упорядоченной пары чисел $(x; y)$.

Пример:

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} $

Шаг 1. Чтобы исключить переменную $y$, нужно, чтобы коэффициенты при ней стали противоположными. Сейчас они равны $-3$ и $2$. Наименьшее общее кратное для 3 и 2 равно 6. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 1 & | \cdot 2 \\ 3x + 2y = 5 & | \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x - 6y = 2 \\ 9x + 6y = 15 \end{cases} $

Теперь коэффициенты при $y$ являются противоположными числами: $-6$ и $6$.

Шаг 2. Сложим почленно левые и правые части полученных уравнений:

$(8x - 6y) + (9x + 6y) = 2 + 15$

$17x = 17$

Шаг 3. Решим это уравнение:

$x = \frac{17}{17} \implies x = 1$

Шаг 4. Подставим найденное значение $x=1$ во второе исходное уравнение $3x + 2y = 5$:

$3 \cdot 1 + 2y = 5$

Шаг 5. Решим уравнение и найдем $y$:

$3 + 2y = 5$

$2y = 5 - 3$

$2y = 2$

$y = 1$

Шаг 6. Решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: Суть метода алгебраического сложения состоит в преобразовании уравнений системы таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Почленное сложение этих уравнений приводит к исключению данной переменной и получению одного уравнения с одной неизвестной. Последовательное нахождение значений переменных дает решение системы.