Номер 4, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Прокомментируйте метод алгебраического сложения на примере решения системы:

а) $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 4x - 3y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 3x - y = 5. \end{cases}$

Метод алгебраического сложения (или метод сложения) используется для решения систем линейных уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы сложить или вычесть уравнения системы с целью исключения одной из переменных. В результате получается одно уравнение с одной неизвестной, которое легко решается. После нахождения одной переменной, её значение подставляется в любое из исходных уравнений для нахождения второй переменной.

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7, \\4x - 3y = 5.\end{cases}$$

1. Анализируем коэффициенты при переменных. В данной системе коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$). Это идеальный случай для применения метода сложения, так как при сложении уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

2. Складываем уравнения почленно. Складываем левые части уравнений и правые части уравнений:

$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$

Приводим подобные слагаемые:

$2x + 4x + 3y - 3y = 12$

$6x = 12$

3. Решаем полученное уравнение с одной переменной.

$x = \frac{12}{6}$

$x = 2$

4. Находим вторую переменную. Подставляем найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$2(2) + 3y = 7$

$4 + 3y = 7$

$3y = 7 - 4$

$3y = 3$

$y = 1$

5. Проверяем решение (необязательно, но рекомендуется). Подставляем найденные значения $x=2$ и $y=1$ во второе уравнение:

$4(2) - 3(1) = 8 - 3 = 5$. Равенство верное.

Таким образом, решение системы найдено верно.

Ответ: $(2; 1)$

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7, \\3x - y = 5.\end{cases}$$

1. Анализируем коэффициенты при переменных. В этой системе нет переменных с противоположными коэффициентами. Чтобы использовать метод сложения, нужно преобразовать одно из уравнений. Заметим, что коэффициент при $y$ в первом уравнении равен $3$, а во втором $-1$. Если мы умножим второе уравнение на $3$, то коэффициенты при $y$ станут $3$ и $-3$.

2. Умножаем второе уравнение на 3.

$3 \cdot (3x - y) = 3 \cdot 5$

$9x - 3y = 15$

Теперь система имеет вид:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7, \\9x - 3y = 15.\end{cases}$$

3. Складываем уравнения преобразованной системы.

$(2x + 3y) + (9x - 3y) = 7 + 15$

$2x + 9x + 3y - 3y = 22$

$11x = 22$

4. Решаем полученное уравнение.

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

5. Находим вторую переменную. Подставляем найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений. Удобнее подставить во второе исходное уравнение:

$3x - y = 5$

$3(2) - y = 5$

$6 - y = 5$

$-y = 5 - 6$

$-y = -1$

$y = 1$

Решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$