Номер 2, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Решение систем уравнений методом подстановки.

Метод подстановки — это один из основных алгебраических способов решения систем уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение. Это действие позволяет уменьшить количество переменных в одном из уравнений и свести задачу к решению более простого уравнения с одной неизвестной.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки

1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую. Желательно выбирать то уравнение, где это сделать проще (например, где коэффициент при одной из переменных равен $1$ или $-1$).
2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое уравнение системы вместо соответствующей переменной. В результате получится уравнение с одной переменной.
3. Решить полученное уравнение и найти значение этой переменной.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение в выражение, полученное на первом шаге, и вычислить значение второй переменной.
5. Записать ответ в виде пары чисел $(x; y)$, которая является решением системы. Если решений несколько, записать все пары.

Пример 1: Решение системы линейных уравнений

Рассмотрим систему уравнений:

1. Выразим одну переменную через другую.

В первом уравнении $2x + y = 7$ легко выразить переменную $y$, так как ее коэффициент равен 1:

$y = 7 - 2x$

2. Подставим полученное выражение во второе уравнение.

Подставляем выражение $7 - 2x$ вместо $y$ во второе уравнение $4x - 3y = 1$:

$4x - 3(7 - 2x) = 1$

3. Решим полученное уравнение с одной переменной.

Раскроем скобки и найдем значение $x$:

$4x - 21 + 6x = 1$

$10x - 21 = 1$

$10x = 22$

$x = \frac{22}{10} = 2.2$

4. Найдем значение второй переменной.

Теперь подставим найденное значение $x = 2.2$ в выражение для $y$, которое мы получили на первом шаге: $y = 7 - 2x$.

$y = 7 - 2 \cdot 2.2 = 7 - 4.4 = 2.6$

5. Запишем ответ.

Решением системы является пара чисел $(2.2; 2.6)$.

Ответ: $(2.2; 2.6)$.

Пример 2: Решение системы нелинейных уравнений

Рассмотрим систему, где одно из уравнений не является линейным:

1. Выразим одну переменную через другую.

Из первого, линейного, уравнения $x - y = 1$ удобно выразить $x$:

$x = y + 1$

2. Подставим полученное выражение во второе уравнение.

Подставляем выражение $y+1$ вместо $x$ во второе уравнение $x^2 + 2y = 33$:

$(y + 1)^2 + 2y = 33$

3. Решим полученное уравнение с одной переменной.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(y^2 + 2y + 1) + 2y = 33$

Приведем подобные слагаемые и получим стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 4y + 1 - 33 = 0$

$y^2 + 4y - 32 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-32$, а сумма равна $-4$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -8$.

Или через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

4. Найдем значения второй переменной.

Мы получили два значения для $y$. Для каждого из них найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = y + 1$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 4 + 1 = 5$.

Если $y_2 = -8$, то $x_2 = -8 + 1 = -7$.

5. Запишем ответ.

Система имеет два решения: $(5; 4)$ и $(-7; -8)$.

Ответ: $(5; 4), (-7; -8)$.