Номер 6, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. В каком случае две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными?

Две системы двух уравнений с двумя переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что каждая пара значений переменных $(x, y)$, которая является решением первой системы, также является решением и второй системы, и наоборот — любое решение второй системы должно быть решением первой.

Формально, если у нас есть Система 1 с множеством решений $S_1$ и Система 2 с множеством решений $S_2$, то эти системы равносильны тогда и только тогда, когда $S_1 = S_2$. Из этого определения следует, что две системы, не имеющие решений (несовместные системы), также являются равносильными, поскольку их множества решений одинаковы (оба являются пустыми множествами, то есть $S_1 = S_2 = \emptyset$).

Рассмотрим пример.
Система 1: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Решив эту систему (например, методом сложения уравнений), мы находим единственное решение: $x=3, y=2$, или упорядоченная пара $(3, 2)$. Множество решений этой системы — $\{(3, 2)\}$.

Система 2: $$ \begin{cases} 2x + y = 8 \\ x = 3 \end{cases} $$ Подставив $x=3$ из второго уравнения в первое, получаем $2(3) + y = 8$, что дает $6 + y = 8$, и отсюда $y=2$. Эта система также имеет единственное решение $(3, 2)$. Множество решений этой системы — тоже $\{(3, 2)\}$.

Так как множества решений обеих систем совпадают, эти две системы являются равносильными.

Ответ: Две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными в том случае, если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что любое решение одной системы является решением и для другой, и наоборот. В частности, две системы, которые не имеют решений, также считаются равносильными.