Номер 1, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

На изображении указана тема, а не конкретная задача. Ниже представлено развернутое объяснение этой темы.

Уравнения с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ — это равенство вида $F(x, y) = 0$, где $F(x, y)$ — это выражение, содержащее переменные $x$ и $y$.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Примеры:

1. Линейное уравнение. Его общий вид: $ax + by + c = 0$. Графиком такого уравнения является прямая линия.
Например, рассмотрим уравнение $x - 2y + 4 = 0$.
Для построения графика найдем координаты двух точек, удовлетворяющих уравнению.
Если $x = 0$, то $0 - 2y + 4 = 0 \implies -2y = -4 \implies y = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
Если $y = 0$, то $x - 2(0) + 4 = 0 \implies x = -4$. Получаем точку $(-4, 0)$.
Проведя прямую через эти две точки, мы получим график данного уравнения.

2. Уравнение окружности. Его общий вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Графиком является окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$.
Например, уравнение $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$ задает на плоскости окружность с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Уравнение с двумя переменными задает определенную линию на координатной плоскости. Решением уравнения является любая пара чисел $(x, y)$, соответствующая координатам точки на этой линии.

Неравенства с двумя переменными

Неравенство с двумя переменными $x$ и $y$ — это неравенство одного из следующих видов: $F(x, y) > 0$, $F(x, y) < 0$, $F(x, y) \ge 0$ или $F(x, y) \le 0$.

Решением неравенства с двумя переменными также является упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое неравенство.

Множество всех решений неравенства с двумя переменными, как правило, представляет собой некоторую область (часть плоскости) на координатной плоскости.

Алгоритм построения множества решений (графический метод):

1. Заменить в неравенстве знак неравенства на знак равенства, чтобы получить уравнение границы $F(x, y) = 0$.
2. Построить график этого уравнения. Если исходное неравенство строгое ($>$ или <), то граница изображается пунктирной линией. Если нестрогое ($\ge$ или $\le$), то сплошной.
3. Полученная линия разбивает координатную плоскость на несколько областей.
4. Выбрать в любой из областей произвольную "пробную" точку (не лежащую на границе) и подставить ее координаты в исходное неравенство.
5. Если в результате подстановки получилось верное числовое неравенство, то вся область, в которой находится пробная точка, является множеством решений неравенства. Эту область следует заштриховать. Если неравенство неверно, то решением является другая область (или области).

Примеры:

1. Линейное неравенство. Решим неравенство $y > 2x - 1$.
1. Уравнение границы: $y = 2x - 1$. Это прямая.
2. Неравенство строгое ($>$), поэтому рисуем прямую пунктиром.
3. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
4. Возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$.
5. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $0 > 2(0) - 1 \implies 0 > -1$. Это верное неравенство.
Следовательно, решением является та полуплоскость, в которой лежит точка $(0, 0)$, то есть область, расположенная выше прямой $y = 2x - 1$.

2. Квадратичное неравенство. Решим неравенство $x^2 + y^2 \le 25$.
1. Уравнение границы: $x^2 + y^2 = 25$. Это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=5$.
2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому рисуем окружность сплошной линией.
3. Окружность делит плоскость на две области: внутреннюю (круг) и внешнюю.
4. Возьмем пробную точку внутри окружности, например, ее центр $(0, 0)$.
5. Подставим: $0^2 + 0^2 \le 25 \implies 0 \le 25$. Это верное неравенство.
Следовательно, решением является круг, ограниченный данной окружностью, включая саму окружность.

Ответ: Неравенство с двумя переменными задает область на координатной плоскости. Решением является множество всех пар чисел $(x, y)$, соответствующих координатам точек в этой области (включая или не включая границу).