Номер 14, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14. Постройте множество точек координатной плоскости $xOy$, удовлетворяющих неравенству:

a) $x^2 + y^2 < 25;$

б) $x^2 + y^2 \le 25;$

в) $x^2 + y^2 > 25.$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать уравнение, которое служит границей для указанных неравенств: $x^2 + y^2 = 25$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R$, таким что $R^2 = 25$. Следовательно, радиус окружности $R = 5$. Эта окружность делит всю координатную плоскость на три множества точек: те, что лежат внутри окружности, те, что лежат на самой окружности, и те, что лежат вне ее. Выражение $\sqrt{x^2 + y^2}$ определяет расстояние от любой точки $(x, y)$ до начала координат. Исходя из этого, рассмотрим каждое неравенство.

а) Неравенство $x^2 + y^2 < 25$ означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат меньше 25, или, что то же самое, само расстояние меньше 5 ($\sqrt{x^2 + y^2} < 5$). Таким образом, искомое множество точек — это все точки, находящиеся внутри окружности с центром в $O(0, 0)$ и радиусом 5. Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на самой окружности, в это множество не входят. Такое множество называется открытым кругом. При графическом изображении граница круга (окружность) рисуется пунктирной линией.
Ответ: Множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 5 (открытый круг).

б) Неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ является нестрогим и означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат меньше или равен 25 ($\sqrt{x^2 + y^2} \le 5$). Следовательно, искомое множество состоит из всех точек, находящихся внутри окружности с центром в $O(0, 0)$ и радиусом 5, а также всех точек, лежащих на самой окружности. Такое множество называется замкнутым кругом. При графическом изображении граница круга (окружность) рисуется сплошной линией.
Ответ: Множество точек, лежащих внутри и на границе окружности с центром в начале координат и радиусом 5 (замкнутый круг).

в) Неравенство $x^2 + y^2 > 25$ означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат больше 25 ($\sqrt{x^2 + y^2} > 5$). Искомое множество — это все точки координатной плоскости, которые находятся вне окружности с центром в $O(0, 0)$ и радиусом 5. Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на самой окружности, в это множество не входят. При графическом изображении граница (окружность) рисуется пунктирной линией, а заштриховывается область вне круга.
Ответ: Множество точек, лежащих вне окружности с центром в начале координат и радиусом 5.