Номер 8, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Что такое система двух уравнений с двумя переменными?

Система двух уравнений с двумя переменными — это условие, которое требует одновременного выполнения двух уравнений, каждое из которых содержит две неизвестные (переменные). Обычно эти переменные обозначают как $x$ и $y$. Задача состоит в том, чтобы найти все пары значений $(x, y)$, которые являются решениями для каждого из уравнений системы.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, которая означает, что уравнения должны выполняться одновременно: $$ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} $$ Здесь $F_1(x, y) = 0$ и $F_2(x, y) = 0$ — это два уравнения с переменными $x$ и $y$. Например, система линейных уравнений имеет вид: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в каждое из уравнений системы получаются верные числовые равенства. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Графическая интерпретация. Каждое уравнение с двумя переменными задает на координатной плоскости некоторую линию (прямую, параболу, окружность и т.д.). Решением системы являются координаты всех точек пересечения графиков этих уравнений.

• Если графики пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение.
• Если графики не пересекаются (например, они являются параллельными прямыми), система не имеет решений.
• Если графики совпадают, то любая точка этой линии является решением, и система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases} $$ Для решения этой системы можно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 5 - 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение: $3(5 - 2y) - y = 1$ $15 - 6y - y = 1$ $15 - 7y = 1$ $7y = 14$ $y = 2$ Теперь найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение для $x$: $x = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$. Таким образом, решением системы является пара чисел $(1, 2)$. Проверим: $1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$ (верно) $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$ (верно) Графически это означает, что прямые $x + 2y = 5$ и $3x - y = 1$ пересекаются в точке с координатами $(1, 2)$.

Ответ: Система двух уравнений с двумя переменными — это два уравнения, объединенные требованием их одновременного выполнения. Решить такую систему означает найти все упорядоченные пары чисел (переменных), которые превращают каждое из уравнений в верное числовое равенство.