Номер 9, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Что называют решением системы двух уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух уравнений с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называют упорядоченную пару чисел $(x_0; y_0)$, которая удовлетворяет каждому уравнению системы. Иными словами, если подставить значения $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$ в оба уравнения, то каждое из них превратится в верное числовое равенство.

Рассмотрим общую форму системы двух уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases} $$ Пара чисел $(x_0; y_0)$ будет являться решением этой системы только в том случае, если одновременно выполняются два условия: $f(x_0, y_0) = 0$ и $g(x_0, y_0) = 0$.

Геометрическая интерпретация:
Каждое уравнение с двумя переменными можно представить в виде графика на координатной плоскости (например, прямой, параболы, окружности). Решение системы — это координаты точки (или точек) пересечения графиков этих уравнений. Поскольку точка пересечения принадлежит обоим графикам, её координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Пример:
Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $$ Проверим, является ли пара чисел $(4; 3)$ решением данной системы.
1. Подставим значения в первое уравнение: $4 + 3 = 7$. Получилось верное равенство $7 = 7$.
2. Подставим значения во второе уравнение: $2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$. Получилось верное равенство $5 = 5$.
Так как пара чисел $(4; 3)$ обращает в верное равенство оба уравнения системы, она является решением этой системы.

Ответ: Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, при подстановке которой каждое из уравнений системы обращается в верное числовое равенство.