Номер 3, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Подберите три решения уравнения:

а) $2x + 3y = 6;$

б) $x^2 + y^2 = 25.$

а) Для уравнения $2x + 3y = 6$ необходимо найти три пары чисел $(x, y)$, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное равенство. Это линейное уравнение, и у него бесконечно много решений. Мы можем найти некоторые из них, подставляя удобные значения для одной переменной и вычисляя значение другой.

1. Первое решение.

Давайте выберем простое значение для $x$, например, $x = 0$. Подставим его в уравнение:

$2 \cdot 0 + 3y = 6$

$0 + 3y = 6$

$3y = 6$

$y = \frac{6}{3} = 2$

Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением, — это $(0; 2)$.

2. Второе решение.

Теперь выберем простое значение для $y$, например, $y = 0$. Подставим его в уравнение:

$2x + 3 \cdot 0 = 6$

$2x + 0 = 6$

$2x = 6$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, вторая пара чисел — это $(3; 0)$.

3. Третье решение.

Чтобы найти еще одно целочисленное решение, выразим $y$ через $x$: $3y = 6 - 2x$, откуда $y = \frac{6-2x}{3}$. Чтобы $y$ был целым, выражение $(6-2x)$ должно быть кратно 3. Подберем такое значение $x$, например, $x = -3$.

$y = \frac{6 - 2(-3)}{3} = \frac{6 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Проверим: $2(-3) + 3(4) = -6 + 12 = 6$. Равенство верно.

Таким образом, третья пара чисел — это $(-3; 4)$.

Ответ: Например, $(0; 2)$, $(3; 0)$, $(-3; 4)$.

б) Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ является уравнением окружности с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Нам нужно найти три пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению, то есть три точки, лежащие на этой окружности.

1. Первое решение.

Найдем точку пересечения окружности с положительной частью оси $Oy$. Для этого положим $x = 0$:

$0^2 + y^2 = 25$

$y^2 = 25$

Отсюда $y = 5$ или $y = -5$. Возьмем положительное значение $y=5$.

Первое решение: $(0; 5)$.

2. Второе решение.

Найдем точку пересечения окружности с положительной частью оси $Ox$. Для этого положим $y = 0$:

$x^2 + 0^2 = 25$

$x^2 = 25$

Отсюда $x = 5$ или $x = -5$. Возьмем положительное значение $x=5$.

Второе решение: $(5; 0)$.

3. Третье решение.

Нужно найти такие числа $x$ и $y$, чтобы сумма их квадратов была равна 25. Мы можем заметить, что 25 является суммой двух квадратов: $25 = 9 + 16$.

$9 + 16 = 3^2 + 4^2$.

Значит, мы можем взять $x=3$ и $y=4$.

Проверим: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Равенство верно.

Третье решение: $(3; 4)$.

Ответ: Например, $(0; 5)$, $(5; 0)$, $(3; 4)$.