Номер 5, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Дана система неравенств $\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0. \end{cases}$ Оказалось, что неравенство $f(x) > 0$ имеет своим решением множество A, а неравенство $g(x) < 0$ выполняется при любых значениях переменной. Что вы можете сказать о решении заданной системы неравенств?

Рассмотрим данную систему неравенств: $$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0. \end{cases} $$

Решением системы неравенств является множество всех значений переменной $x$, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. Это означает, что мы ищем пересечение множеств решений первого и второго неравенств.

Проанализируем условия задачи для каждого неравенства.

Для первого неравенства, $f(x) > 0$, нам дано, что его решением является множество $A$.

Для второго неравенства, $g(x) < 0$, сказано, что оно выполняется при любых значениях переменной. Это значит, что решением этого неравенства является множество всех действительных чисел, которое обозначается как $ℝ$ (или в виде интервала $(-\infty; +\infty)$).

Чтобы найти решение всей системы, необходимо найти пересечение этих двух множеств решений. Если $S$ - множество решений системы, то: $$ S = (\text{решение } f(x) > 0) \cap (\text{решение } g(x) < 0) $$ Подставляя известные нам множества, получаем: $$ S = A \cap ℝ $$

Пересечение любого множества $A$ (которое является подмножеством действительных чисел) с множеством всех действительных чисел $ℝ$ всегда равно самому множеству $A$. Это происходит потому, что все элементы, принадлежащие $A$, по определению также принадлежат и $ℝ$.

Таким образом, решение системы неравенств полностью совпадает с решением первого неравенства, так как второе неравенство не накладывает никаких дополнительных ограничений на переменную $x$.

Ответ: Решением заданной системы неравенств является множество $A$.